Gutta cavat lapidem - Steter Tropfen höhlt den Stein.
Mit Freude und Stolz zieht Familie Tüchtig in ihr neues Einfamilienhaus
ein. Als es regnet, wird ihre Stimmung etwas getrübt, denn die Dachrinne
ist an einer Stelle nicht dicht. Nur Jonas beobachtet mit Interesse, wie
die aus sieben Meter Höhe herabfallenden Wassertropfen immer an einer
anderen Stelle aufschlagen. Aber der dort liegende kleine Stein wird nicht
getroffen. Rings um ihn fallen die Tropfen zur Erde. Dann erwischt es
ihn aber doch.
Wie könnte man die Trefferwahrscheinlichkeit berechnen, fragt sich
Jonas. Ihm fällt dazu der folgende Formelansatz aus dem Stochastikunterricht
ein:
Vielleicht sollte man, so denkt Jonas, für die Trefferwahrscheinlichkeit
deshalb das nachstehende Verhältnis bestimmen:
Schon sehr früh in der Geschichte der Wahrscheinlichkeitstheorie hat man sich mit dem Problem des zufälligen Werfens bzw. der zufälligen Auswahl eines Punktes auf bzw. aus einem endlichen Flächenstück beschäftigt. Das mutmaßlich älteste Beispiel geht auf ISAAC NEWTON (1643 bis 1727, Bild 1) zurück. Im 18. Jahrhundert wurde dann der Begriff geometrische Wahrscheinlichkeit eingeführt, da es sich um Zufallsexperimente handelt, deren Versuchsausgänge geometrisch quantitativ messbare Größen sind.
Wir definieren den Begriff der geometrischen Wahrscheinlichkeit folgendermaßen (s. auch Bild 2)
- Ist die Ergebnismenge
ein endliches Flächenstück mit dem Inhalt 
und ist E eine Teilfläche von
mit dem Inhalt 
,
so heißt das Verhältnis 
geometrische Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses E.
Die geometrische Wahrscheinlichkeit 
ist unabhängig von der konkreten Form und Lage der Teilfläche
E. Sie ist das Verhältnis des Flächeninhalts der für das
Ereignis günstigen Teilfläche zum Flächeninhalt der möglichen
Grundfläche. In dieser Formulierung wird die Verwandtschaft zur LAPLACE-Regel
deutlich:
- Das der LAPLACE-Regel zugrunde liegende Prinzip der Gleichwahrscheinlichkeit kommt bei der geometrischen Wahrscheinlichkeitsverteilung darin zum Ausdruck, dass Ereignissen, denen Flächenstücke mit gleichem Flächeninhalt entsprechen, die gleiche Wahrscheinlichkeit zukommt.
Anmerkung: Es ist zu beachten, dass die Bezeichnungen "geometrische Wahrscheinlichkeit" und "geometrische Verteilung" zwar ähnlich klingen, aber für verschiedene Zufallsexperimente verwendet werden.
Die oben angeführte Nähe zum sogenannten klassischen Zugang
zur Wahrscheinlichkeit (LAPLACE-Wahrscheinlichkeit)
darf die Sonderstellung der geometrischen Wahrscheinlichkeit nicht überdecken,
was an den folgenden Beispielen demonstriert werden soll.
| Beispiel
1: Ein
zufällig herabfallender Wassertropfen habe als mögliche
Trefferfläche
einen Kreis mit dem Radius r. Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft der Wassertropfen auf einen Kreissektor E mit einem Öffnungswinkel von 120°? |
 |
Lösung:
Interessant ist die Ergebnismenge dieses Zufallsexperiments. Jedes mögliche
Ergebnis werde durch einen Punkt 
mit 
und 
(als mathematisches Modell eines Regentropfens)
der Kreisfläche beschrieben, d.h., es sind überabzählbar
unendlich viele Ergebnisse möglich. Bei der LAPLACE-Wahrscheinlichkeit
dagegen besteht die Ergebnismenge nur aus endlich vielen Elementen.
| Beispiel
2: Die mögliche Trefferfläche
eines zufällig herabfallenden Wassertropfens sei ein Quadrat
mit der Seitenlänge a. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit p, dass der Wassertropfen auf den eingeschrieben Kreis fällt. |
 |
Lösung:
Das Ergebnis ist keine rationale Zahl. Während beim klassischen Zugang
(zur Wahrscheinlichkeitsrechnung) Wahrscheinlichkeiten stets rationale
Zahlen sind, können geometrische Wahrscheinlichkeiten auch irrationale
Zahlen sein.
| Beispiel 3: Für
einen "auf gut Glück" herabfallenden Wassertropfen
gilt nebenstehendes Treffergebiet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p für einen Treffer? |
 |
Lösung(en):
Die Ursache für die unterschiedlichen Ergebnisse liegt in der ungenauen
Beschreibung des Zufallsexperiments.
Bei der Variante 1 ist die mögliche Trefferfläche
der Kreis mit dem Durchmesser 2r und gesucht ist die Wahrscheinlichkeit,
dass der Wassertropfen auf die Kreisfläche mit dem Durchmesser r
fällt.
Bei der Variante 2 ist die mögliche Trefferfläche
die Strecke mit der Länge 2r und gesucht ist die Wahrscheinlichkeit,
dass der Wassertropfen auf die Strecke mit der Länge r fällt.
Das Beispiel zeigt, dass geometrische Wahrscheinlichkeiten auch im 
(und analog im 
)
betrachtet werden können. Dabei handelt es sich aber jeweils um verschiedene
Zufallsexperimente, deren Vermengung zu Fehldeutungen führen kann.
Im Zusammenhang mit der geometrischen Wahrscheinlichkeit ist es in der
Geschichte der Wahrscheinlichkeitstheorie noch zu anderen Fehlschlüssen
gekommen. Das wohl bekannteste Beispiel dafür ist das bertrandsche
Paradoxon.
Durch Simulation des zufälligen
Auftretens eines Punktes auf eine Fläche kann die geometrische Wahrscheinlichkeit
zum näherungsweisen Berechnen auch komplizierterer Flächeninhalte
genutzt werden. Aus der Geschichte der Wahrscheinlichkeitstheorie ist
hierzu vor allem die als buffonsches
Nadelexperiment bezeichnete bekannt. Diese ermöglicht auch eine experimentelle
Bestimmung der Zahl 
.