Kegelschnitte, Gleichungen

Die allgemeine Kegelschnittgleichung (d.h. die Gleichung von Kegelschnitten, deren Achsen nicht notwendig parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen) lautet folgendermaßen:

Ist dabei , so bedeutet das, dass eine Drehung um einen bestimmten Winkel vorliegt. Weitere Betrachtungen werden hier nur für den Fall angestellt.

Mittelpunktsgleichungen
Die folgende Tabelle gibt eine Zusammenstellung der Mittelpunktsgleichungen für Kreis, Ellipse und Hyperbel (M Mittelpunkt, r Radius, a große Halbachse, b kleine Halbachse).

	Kreis	Ellipse	Hyperbel
Mittelpunktslage
Allgemeine Lage

Anmerkung: Da die Parabel keinen Mittelpunkt besitzt, gibt es für sie auch keine Mittelpunktsgleichung.

• Beispiel 1: Kreis (s. Bild 1)
  (1.1)
  (1.2)
• Beispiel 2: Ellipse (s. Bild 2)
  (2.1)
  (2.2)
• Beispiel 3: Hyperbel (s. Bild 3)
  (3.1)
  (3.2)

Scheitelgleichungen Die jeweilige Scheitelgleichung der Kegelschnitte erhält man, wenn der Mittelpunkt auf die x-Achse und der (bzw. ein) Scheitel in den Ursprung gelegt wird.
Scheitelgleichung des Kreises Wegen gilt: Hieraus folgt die Scheitelgleichung des Kreises: Beispiel: Für folgt (s. nebenstehendes Bild).

Scheitelgleichung der Parabel Der Abstand des Brennpunktes F von der Leitlinie l sei p. Der Scheitelpunkt der Parabel halbiert den Abstand zwischen F und l. Dann ergibt sich nach der Definition der Parabel (L ist der Fußpunkt der Senkrechten vom Parabelpunkt P auf die Leitlinie): Beispiel: Für folgt (s. nebenstehendes Bild).

Scheitelgleichung der Ellipse Für die Ellipse gilt nach obigen Bedingungen: und damit Für ergibt sich als Scheitelgleichung der Ellipse: Beispiel: Für folgt (s. nebenstehendes Bild).

Scheitelgleichung der Hyperbel Als Scheitelgleichung der Hyperbel erhält man analog: Beispiel: Für folgt (s. nebenstehendes Bild)

Für alle (vier) Kegelschnitte kann man eine gemeinsame Scheitelgleichung in folgender Form angeben:

Dabei gilt:

• liefert einen Kreis;
• liefert eine Ellipse;
• liefert eine Parabel;
• liefert eine Hyperbel

Anmerkung: Für entstehen Ellipsen, deren große Achse parallel zur y-Achse verläuft.