Der absolute Betrag
einer Zahl a (geschrieben: 
)
ist bekanntlich gleich a, falls a positiv oder gleich null ist, und gleich
-a, falls a negativ ist:
Damit ist der absolute Betrag einer Zahl niemals negativ.
Die Gleichung 
hat für 
die Lösungen 
für 
die Lösung 
und für 
keine Lösung:
Die Gleichung 
hat somit die Lösungen 
Generell muss man zum Lösen von Gleichungen mit Beträgen Fallunterscheidungen vornehmen, was nachfolgend an einigen Beispielen erläutert werden soll.
Lineare Gleichungen mit absoluten
Beträgen
Wir betrachten als lineare
Gleichungen mit absoluten Beträgen
im Folgenden Gleichungen des Typs 
Beim
Lösen sind folgende Fälle zu unterscheiden:
- Fall 1:
Dann erhält man
woraus 
folgt. -
Fall 2:
Dann erhält man
woraus 
folgt.
Die Gleichung 
hat danach die Lösungen 
und damit die Lösungsmenge 
Eine lineare Gleichung mit absoluten Beträgen kann also zwei
Lösungen haben.
Quadratische Gleichungen mit absoluten
Beträgen
Als quadratische Gleichungen
mit absoluten Beträgen sollen
Gleichungen der Form 
untersucht werden. Beim Lösen sind folgende Fälle zu unterscheiden:
- Fall 1:
Dann gilt
und nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen erhält
man:
- Fall 2:
Dann gilt
und nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen erhält
man:
Beispiel: Es sind die Lösungen
der Gleichung 
zu ermitteln.
Es sind folgende Fälle zu unterscheiden:
- Fall 1:
Man erhält
woraus 
folgt, also ist 
- Fall 2:
Man erhält
woraus 
folgt, also 
Die Lösungsmenge der Gleichung ist damit 
Es existieren genau drei Lösungen.
Die oben allgemein geführten Betrachtungen zeigen, dass eine quadratische Gleichung mit absoluten Beträgen maximal vier Lösungen haben kann. Es sind aber auch Fälle möglich, bei denen es keine Lösung gibt, oder solche mit einer Lösung, mit zwei oder mit drei Lösungen.
- Verändert man die im obigen Beispiel gegebene Gleichung
zu
so erhält man im Fall 1 wiederum
Im zweiten Fall aber ergibt sich 
und daher wegen der nunmehr negativen Diskriminate 
keine weitere Lösung. Es gibt also nur zwei
Lösungen. - Verändert man die gegebene Gleichung
zu
so erhält man wiederum
Im zweiten Fall ergeben sich nunmehr aus der Gleichung 
die Lösungen 
Es existieren also vier verschiedene Lösungen. - Die Gleichung
hat eine Lösung 
weil 
ist. - Die Gleichung
hat keine Lösung, weil der absolute
Betrag niemals negativ ist, also insbesondere auch nicht den Wert 
annehmen kann.
Anmerkung: Die aus dem Fundamentalsatz der Algebra folgende Aussage, wonach eine ganzrationale Gleichung n-ten Grades im Bereich der reellen Zahlen höchstens (im Bereich der komplexen Zahlen genau) n Lösungen hat, gilt also nicht für entsprechende Gleichungen mit absoluten Beträgen.
Die Beispiele zeigen, dass man Gleichungen mit Beträgen durch Fallunterscheidungen
auf "normale" Gleichungen zurückführen kann. Auf diese
lassen sich dann gegebenenfalls die bekannten Lösungsverfahren oder
-strategien anwenden.
Da bei den Lösungsverfahren nicht davon ausgegangen werden kann,
dass ausschließlich äquivalente Umformungen vorgenommen wurden,
sind generell Proben erforderlich.