Der französische Mathematiker PIERRE SIMON DE
LAPLACE (1749 bis 1827, Bild 1) untersuchte als einer der Ersten intensiv
Zufallsexperimente, bei denen sinnvollerweise angenommen werden kann,
dass jedes seiner Ergebnisse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintritt.
Auf seinen Erkenntnissen fußend definiert man:
- Die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Zufallsexperiments
mit endlicher Ergebnismenge
heißt Gleichverteilung, wenn
alle zugehörigen atomaren Ereignisse 
die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen, d.h., wenn gilt:
Zufallsexperimente mit Gleichverteilung heißen LAPLACE-Experimente.
Dieser definitorische Zugang über den mathematischen Begriff Zufallsexperiment erweist sich nicht immer als zweckmäßig. Einfacher zu handhaben ist vielfach eine Definition, die sich auf den mathematischen Begriff Zufallsgröße stützt.
- Eine endliche Zufallsgröße
heißt gleichverteilt, wenn
sie jeden ihrer Werte 
mit der gleichen Wahrscheinlichkeit annimmt, d.h., wenn gilt:
Eine (diskrete) gleichverteilte Zufallsgröße kann also nur endlich viele Werte annehmen und alle diese Werte haben die gleiche Wahrscheinlichkeit. Eine Gleichverteilung aus abzählbar unendlich vielen Werten kann es offensichtlich nicht geben.
Gleichverteilungen
für diskrete Zufallsgrößen
Eine diskrete Gleichverteilung
kann durch folgendes Urnenmodell
beschrieben werden.
Einer Urne mit genau n (von 1 bis n durchnummerierten, aber ansonsten
nicht unterscheidbaren) Kugeln wird "auf gut Glück" genau
eine Kugel entnommen.
Unter der Zufallsgröße X soll die zufällige Nummer der
herausgegriffenen Kugel verstanden werden.
Es gilt:
Aus der grafischen Darstellung einer
gleichverteilten Zufallsgröße X und ihrer Verteilungsfunktion
F (s. folgendes Bild) erkennt man, dass zwar die Ordinatenwerte 
bzw. die Differenzen 
alle gleich 
sind, die Differenzen der Abszissenwerte 
aber durchaus nicht gleich sein müssen (i = 1; 2; ...; n).
Der Erwartungswert einer
diskreten gleichverteilten Zufallsgröße X ergibt sich als arithmetisches
Mittel der Werte ,
d.h., es gilt:
Für die Streuung (bzw. Varianz)
folgt somit:
Für den Spezialfall
des oben angegebenen Urnenmodells lassen
sich die beiden Kenngrößen der Gleichverteilung folgendermaßen
vereinfachen:
Gleichverteilungen
für stetige Zufallsgrößen
Die über die diskrete Gleichverteilung gemachten Aussagen können
auf stetige Zufallsgrößen
ausgedehnt werden.
- Eine stetige Zufallsgröße X heißt
gleichverteilt über dem Intervall
,
wenn für ihre Dichtefunktion f gilt:
Eine über einem Intervall gleichverteilte (stetige)
Zufallsgröße bezeichnet man auch als Zufallsgröße
mit einer Rechtecksverteilung
oder mit einer (stetigen) gleichmäßigen
Verteilung.
Für die Verteilungsfunktion F
gilt:
Der Graph der Dichtefunktion f und der der Verteilungsfunktion F sind
in der folgenden Abbildung dargestellt.
Die Kenngrößen Erwartungswert
und Streuung (bzw. Varianz)
der stetigen Gleichverteilung ergeben sich wie folgt:
