Goniometrische (trigonometrische) Gleichungen sind Gleichungen, in denen
die Variable im Argument von Winkelfunktionen vorkommt. Ein allgemeines
Verfahren zur direkten Bestimmung der Lösung oder der Lösungen
einer goniometrischen Gleichung gibt es nicht. Für spezielle Gleichungen,
die im praktischen numerischen Rechnen durchaus eine Rolle spielen, lassen
sich aber Lösungen auf direktem Wege bestimmen. Versagen direkte
Verfahren, müssen Näherungsverfahren (Sekantennäherungsverfahren,
Tangentennäherungsverfahren, allgemeines Iterationsverfahren) eingesetzt
werden. Insbesondere ist das dann erforderlich, wenn die Unbekannte nicht
nur im Argument trigonometrischer Funktionen auftritt, z.B. in der Gleichung
.
Im Folgenden werden einige typische Fälle für das Lösen
goniometrischer Gleichungen mit einer Winkelfunktion dargestellt.
Bestimmen der Winkel zum gegebenen
Wert einer trigonometrischen Funktion
Der einfachste Fall einer goniometrischen Gleichung liegt vor, wenn zum
gegebenen Wert einer trigonometrischen Funktion der Winkel zu bestimmen
ist.
- Beispiel 1:
Unmittelbar folgt 
und dafür liefert der Taschenrechner (oder eine Tabelle der Tangenswerte)
die Lösung 
(bzw. im Bogenmaß 
).
Wegen der Periodizität der trigonometrischen Funktionen ist das aber
nur der Hauptwert.
Da 
gilt, sind 
weitere Lösungen.
- Beispiel 2:
Es ist 
.
Da 
gilt, ist auch 
Lösung.
Wegen der Periodizität ergeben sich weitere Lösungen
aus 
bzw. aus 
.
Anmerkung: Der Taschenrechner liefert als Lösung
nur den Hauptwert! Die Lösungen zwischen 
kann man sich am Einheitskreis (s. folgendes Bild) veranschaulichen.
Lösen goniometrischer Gleichungen
durch Substitution
Kompliziertere goniometrische Gleichungen versucht man, durch Substitution
auf einfachere Gleichungen zurückzuführen.
- Beispiel 3:
Man setzt 
,
die Gleichung 
liefert den Wert 
,
und aus 
folgt
.
Weitere Werte ergeben sich wiederum aus der Periodizität der Sinusfunktion.
- Beispiel 4:
Die Substitution 
führt auf 
mit 
als Lösung.
Aus 
folgt 
,
also 
.
Aus 
folgt 
,
also 
.
Anmerkung: Bei trigonometrischen Gleichungen
ist es immer zu empfehlen, die Ergebnisse durch eine Rechenprobe zu überprüfen.
Im speziellen Fall ergibt sich 
,
die Abweichung entsteht durch (vorzeitiges) Runden.
Mit dem interaktiven Rechenbeispiel können goniometrische Gleichungen mit einer oder mehreren Winkelfunktionen gelöst werden.
Werden Umformungen durchgeführt, die zu nicht (zur Ausgangsgleichung) äquivalenten Gleichungen führen, können die (oder einige der) Lösungen "unbrauchbar" sein, wie das folgende Beispiel zeigt.
- Beispiel 5:
Quadrieren und die Substitution
führen über 
auf
die quadratische Gleichung 
mit den Lösungen 
und 
.
Da aber 
für alle x ist, liefert 
keine Lösungen. Aus 
ergibt sich 
und 
.
Diese x-Werte erfüllen die Ausgangsgleichung.
Goniometrische Gleichungen mit unterschiedlichen
Argumenten
Tritt in den Argumenten gleicher trigonometrischer Funktionen die Unbekannte
in einer Summe oder Differenz oder als Vielfaches auf, so versucht man
durch Anwenden
von Additionstheoremen oder aus Additionstheoremen herleitbaren Folgerungen
die gegebene Gleichung auf eine solche mit gleichen Argumenten zurückzuführen
(gelingt das nicht, bleiben meist nur Näherungsverfahren zum Lösen
übrig).
Das folgende Beispiel soll die Vorgehensweise illustrieren.
- Beispiel 6:
Die Gleichung kann durch Anwenden der Beziehung
umgeformt werden zu
.
Die Substitution 
führt auf die quadratische Gleichung 
mit den Lösungen 
.
Aus 
bzw. 
lassen sich dann die Lösungen der gegebenen goniometrischen Gleichung
bestimmen.