Goniometrische (trigonometrische) Gleichungen sind Gleichungen, in denen die Variable im Argument von Winkelfunktionen vorkommt. Ein allgemeines Verfahren zum direkten Bestimmen der Lösung oder der Lösungen einer goniometrischen Gleichung gibt es nicht. Für spezielle Gleichungen lassen sich aber Lösungen auf direktem Wege ermitteln. Ansonsten müssen Näherungsverfahren (Sekantennäherungsverfahren, Tangentennäherungsverfahren, allgemeines Iterationsverfahren) eingesetzt werden.
Tritt die Variable (Unbekannte) als Argument von verschiedenen
Winkelfunktionen auf, so versuche man so umzuformen, dass die Gleichung
auf eine solche mit nur einer Winkelfunktion
reduziert wird. Bei diesen Umformungen hilft oft eine der Beziehungen
("trigonometrischer
Pythagoras") bzw. 
.
- Beispiel 1:
Im Folgenden wird ein Lösungsweg kurz demonstriert:
Hieraus ergeben sich als Lösungen im Intervall 
:
Nachstehende Skizze veranschaulicht diese Lösungen.
Weitere Lösungen der Ausgangsgleichung ergeben sich aus der Periodizität
der Winkelfunktionen.
Ein anderer Lösungsweg für das Beispiel 1 wäre das folgende
Vorgehen (für 
):
- Beispiel 2:
Quadrieren und Anwenden des "trigonometrischen Pythagoras"
ergibt:
Zusammenfassen und die Substitution 
führen auf die quadratische Gleichung
mit den Lösungen 
.
Hieraus ergeben sich als (mögliche) Lösungen der Ausgangsgleichung
sowie
.
Die wegen der nichtäquivalenten Umformung notwendige Probe zeigt
allerdings, dass 
keine Lösung ist.
Lösen goniometrischer Gleichungen
durch Einführen eines Hilfswinkels
Goniometrische Gleichungen der Form 
lassen sich durch Einführen
eines Hilfswinkels lösen. Dabei geht man wie folgt vor: Für
erhält
man nach Division
.
In dieser Gleichung wird nun die Konstante 
als Tangens eines Winkels aufgefasst, also etwa 
,
woraus nach Multiplikation mit 
zunächst
und nach Anwenden eines Additionstheorems
folgt. Weil 
bekannt ist, ist damit die Unbekannte bestimmt.
- Beispiel 3:
Division durch 2 liefert 
,
sodass wegen 
folgt:
Hieraus ergeben sich im Intervall
die folgenden Lösungen:
Prinzipiell empfiehlt sich für das Lösen goniometrischer Gleichungen folgendes Herangehen:
- Umformen der gegebenen Gleichung mithilfe von Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen so, dass nur ein Funktionstyp des gleichen Arguments auftritt
- Einschränken der Lösungsmenge auf ein Intervall
-
Durchführen der Probe, insbesondere bei nicht äquivalenten Umformungen
Mit dem Rechenbespiel können
geometrische Gleichungen mit einer oder mit
mehreren Winkelfunktionen gelöst werden.