Überlegungen
zum Einfluss von Veränderungen der Integrationsgrenzen auf den Wert des bestimmten Integrals 
führen zu dem Resultat, dass dieser Wert bei fester unterer Grenze
a eine Funktion 
der oberen Integrationsgrenze ist. Ferner gilt der Satz:
Für eine im Intervall [a; b]
stetige Funktion f ist die Funktion
mit 
eine Stammfunktion von f
im Intervall [a; b]
.
Ist nun F eine beliebige Stammfunktion von f, dann gilt nach diesem Satz:
Für x = a erhält man hieraus 
Für x = b folgt 
.
Ersetzt man in dieser Gleichung C, dann ergibt sich:
Durch Umbenennung der Integrationsvariablen erhält man schließlich
.
Mit diesen Überlegungen wurde folgender Satz bewiesen:
Hauptsatz
der Differenzial- und Integralrechnung
Ist f eine im Intervall [a; b]
stetige Funktion und F eine zu f gehörende Stammfunktion, so gilt:
Dieser Satz wird nach den Begründern der Infinitesimalrechnung
häufig auch als Formel nach NEWTON-LEIBNIZ bezeichnet. Er stellt den Zusammenhang zwischen der Differenzial- und
Integralrechnung her und verbindet zwei Sachverhalte miteinander, denen
völlig unterschiedliche Probleme zugrunde liegen:
Das bestimmte Integral
wurde durch Grenzwerte von Zahlenfolgen
definiert, zum unbestimmten Integral (Aufsuchen von Stammfunktionen) gelangt
man über die Umkehrung
des Differenzierens.
Der Hauptsatz ermöglicht die effektive Berechnung bestimmter Integrale mithilfe der Stammfunktion.
Beispiel: Das bestimmte Integral 
ist zu berechnen.
1. Schritt: Ermitteln des unbestimmten Integrals,
also einer Stammfunktion F des Integranden:
2. Schritt: Berechnen von F(a) und F(b), hier F(2) und F(4),
durch Einsetzen der unteren bzw. oberen Integrationsgrenze in F(x):
3. Schritt: Bilden der Differenz F(b) – F(a):
(Auf die Angabe von C wird in der Regel verzichtet, da diese Konstante
beim Subtrahieren ohnehin wegfiele.)
Also gilt:
