1.
Lösen von Gleichungen
Gleichungen (und Ungleichungen)
können mit der Funktion solve( gelöst
werden. Dazu wird solve in die Eingabezeile geschrieben
oder aber über [F2] [1] (solve() eingegeben.
Die Gleichung und – durch Komma getrennt – die aufzulösende Variable
sind zu ergänzen und mit [ENTER] abzuschließen.
Damit Brüche, Wurzeln und Exponenten in üblicher Schreibweise
dargestellt werden, muss der Pretty Print-Modus
eingeschaltet sein ([MODE] [Pretty Print / on]
) (Bild 1).
Mithilfe der solve-Funktion werden – als Beispiel
für das Lösen einer Parametergleichung – die Nullstellen der
Funktionenschar 
ermittelt (vgl. 4. Darstellen von Funktionenscharen).
Über den mit-Operator 
([2nd] [K]) werden nach der zu lösenden Gleichung Bedingungen eingegeben:
In der ersten Berechnung 
in der zweiten und dritten Berechnung der spezielle Wert t = 0,5. Ist
am Rechner der Approx-Modus ([MODE] [Exact
/ Approxe] [3] (approximate)) eingestellt,
so werden die Ergebnisse als Näherungswerte angezeigt (s. letzte
Berechnung und Statusanzeige für die letzte Rechnung), im Exakt-Modus
erhält man die Ergebnisse in symbolischer Form (Berechnungen 1 und
2) (Bild 2).
Im Bild 3 wird die Funktion solve verwendet, um die Wachstumsformel nach n aufzulösen. Die Vorgehensweise ist wie zu Bild 1 erläutert.
Soll eine quadratische Gleichung mithilfe der Lösungsformel gelöst
werden, so wird diese als Funktion 
definiert und mit [ENTER] abgespeichert (Zeile 1). Damit steht die Lösungsformel
jederzeit zur Verfügung. So werden mit 
die Lösungen für 
ermittelt (Zeile 2) (Bild 4).
2. Lösen linearer Gleichungssysteme
Folgendes Gleichungssystem sei zu lösen:
Der VOYAGE 200 stellt im MATH/Matrix-Menü ([2nd]
[5]) zwei Befehle zum Lösen linearer Gleichungssysteme
zur Verfügung. Da simult nur für
eindeutig lösbare Gleichungssysteme vom Typ "n
Variable und n Gleichungen" genutzt werden kann, ist der Operator
rref allgemeingültiger und wird bevorzugt
(Bild 5).
Die eingegebene Matrix entsteht, indem die Koeffizienten des Gleichungssystems und die Absolutglieder innerhalb der Klammer [ ] zeilenweise eingetragen werden. Die einzelnen Koeffizienten werden durch ein Komma getrennt; ein Semikolon am Zeilenende führt zur nächsten Zeile (Bild 6).
Durch Abschluss der in Bild 6 eingegebenen Matrix mit [ENTER] bringt
der Operator rref das System auf Diagonalform,
aus der man die Lösung in der letzten Spalte direkt ablesen kann
(Bild 7).
3. Grafisches Darstellen von Funktionen
Die grafische
Darstellung von Funktionen erfolgt beim VOYAGE 200 mithilfe des y-Editors.
Nach dem Aufrufen des y-Editors mit 
[W] (y=) wird in der Eingabezeile die Funktionsgleichung eingegeben. Je
nach Termstruktur ist dabei die Klammersetzung zu beachten. Wird die Eingabe
mit [ENTER] abgeschlossen, wird der Funktionsterm in Zeile 1 angezeigt
und der Cursor springt in Zeile 2. Damit ist die Eingabe (und gleichzeitige
Darstellung) einer weiteren Funktion möglich (Bild 8).
Im Window-Editor (
[E] (WINDOW)) werden Eigenschaften des Grafikbildschirms
festgelegt: xmin, xmax, ymin und ymax
begrenzen die Intervalle auf der x- bzw. auf der y-Achse, xscl und yscl legen den Abstand zwischen zwei Teilstrichen der Achsen fest, und xres
bestimmt die Pixel-Auflösung der Graphen (niedrige Werte verbessern
die Auflösung, können aber die Darstellungsgeschwindigkeit verringern;
Standardeinstellung ist 2) (Bild 9).
Nach Öffnen des Grafikbildschirms (
[R] (GRAPH)) erscheint dort der Graph der vorher
eingegebenen Funktion. Feinheiten in der Darstellung sind in starkem Maße
von den Window-Einstellungen abhängig. So ist das "Loch"
im Graphen der hier dargestellten Funktion bei anderen Einstellungen u.U. nicht sichtbar (Bild 10).
4. Darstellen von Funktionenscharen
Im y-Editor (
[W] (y=)) wird die Gleichung der Funktionenschar
und
über den mit-Operator
([2nd] [K]) eine Liste mit ausgewählten Werten für den Parameter
t eingegeben. Eine Liste wird erstellt, indem die einzelnen Elemente durch
Komma getrennt innerhalb geschweifter Klammern geschrieben werden (Bild
11).
Über
[R] (GRAPH) werden die ausgewählten Kurven
im Grafikbildschirm dargestellt (Bild 12).
5. Abschnittweise definierte Funktionen
Dargestellt wird die abschnittsweise
definierte Funktion f mit 
Die drei Abschnitte der Funktion f sind als gesonderte Funktionen y1,
y2 und y3 für das jeweilige Intervall im y-Editor (
[W] (y=)) definiert. Die Intervallgrenzen werden über den mit-Operator
([2nd]
[K]), die Doppelungleichung (Zeile 2) als Verknüpfung and
eingegeben (Bild 13).
Eine andere Variante ist die Eingabe im y-Editor als when-Funktion.
Allgemein ist dabei einzugeben:
when (Bedingung, wahrer
Term, falscher Term)
Da die hier darzustellende Funktion in drei
Abschnitte unterteilt ist, ist die when-Funktion
zweimal anzuwenden. Die Eingabe lautet dann: 
Die Relationszeichen 
findet man in [2nd] [+] (CHAR) [2] (MATH).
Nach Abschluss mit [ENTER] erscheint die Funktionsgleichung in dargestellter
Weise (Bild 14).
Unabhängig von der Art der Eingabe (Bild 13 oder Bild 14) wird der
Graph der Funktion nach
[R] (GRAPH) im Grafikbildschirm dargestellt.
Handelt es sich bei der Funktion wie hier um eine Betragsfunktion 
,
so ist im y-Editor einfach der Funktionsterm 
einzugeben (Bild 15).
6. Darstellen von Zahlenfolgen
Dargestellt wird die Fibonacci-Folge 
Zur Darstellung
von Zahlenfolgen ist der Graph-Modus [MODE] [Graph]
auf SEQUENZ einzustellen. Im y-Editor
[W] (y=) entsteht dadurch eine Funktionsliste u1, u2, … , in welche
die Bildungsvorschrift eingetragen wird. Bei rekursiven Zuordnungsvorschriften
ist zu beachten, dass ein Glied 
der Zahlenfolge als 
,
ein Glied 
als 
usw. einzugeben ist. Außerdem sind in Zeile 2 (ui1) die Startwerte
als
Liste 
einzutragen.
Im Window-Editor (rechte Bildschirmhälfte,
[E] (WINDOW))
wird der gewünschte Darstellungsbereich festgelegt. Den hier gewählten
geteilten Bildschirm erhält man über [MODE] [F2] [Split
Screen] [LEFT-RIGHT] (Bild 16).
Im Grafikbildschirm (
[R] (GRAPH)) wird die Zahlenfolge dargestellt. Dazu wurde vorher der volle
Bildschirm wiederhergestellt ([MODE] [F2] [Split Screen]
[FULL]). Benutzt man [F3] [TRACE], so kann man die geplotteten
Punkte mit dem Cursor abfahren und die dazugehörigen Zahlenpaare
ablesen (Bild 17).
Die im y-Editor eingegebene Zahlenfolge wird im Tabellenbildschirm
[Y] (TABLE) numerisch ausgewiesen. Man erhält eine Tabelle mit den
Folgengliedern. Durch Scrollen gelangt man zum gewünschten
Bereich (Bild 18).
7. Untersuchen eines Funktionsgraphen
mithilfe von ZOOM und TRACE
Funktionsuntersuchung
am Beispiel der Funktion 
Um Koordinaten markanter Punkte des Graphen einer dargestellten Funktion
zu ermitteln, kann der Graph mit dem Cursor abgefahren werden. Die Cursorkoordinaten
werden im Grafikbildschirm (
[R] (GRAPH)) angezeigt. Neben einem frei beweglichen
Cursor (er erscheint bei Bedienen der Cursorfeldtasten) ist vor allem
die Trace-Funktion ([F3] im Grafikbildschirm)
sehr hilfreich. Hier bewegt sich der Cursor entlang den geplotteten Punkten
der Funktion. So können beispielsweise Nullstellen einer Funktion
oft schon mit hinreichender Genauigkeit ohne zusätzliche Einstellungen
abgelesen werden (Bild 19).
Mithilfe der ZoomIn-Funktion ([F2] [2] (ZoomIn)) wird ein Ausschnitt der grafischen Darstellung gewählt und anschließend vergrößert dargestellt. Dazu wird mit dem Cursor ein Mittelpunkt (New Center?) festgelegt, um den ein Ausschnitt gebildet wird (Bild 20).
Nach [ENTER] wird ein Ausschnitt um den gewählten Mittelpunkt dargestellt, die Koordinaten des gewünschten Punktes können über Trace nun mit höherer Genauigkeit abgelesen werden. Wenn erforderlich, kann dieser Vorgang für eine noch detailreichere Darstellung wiederholt werden (Bild 21).
8. Bestimmen der Nullstellen einer
Funktion
(am Beispiel der Funktion )
Nullstellen einer grafisch
dargestellten Funktion können leicht mit [F5] [2] (Zero)
ermittelt werden. Dazu sind durch Eingabe geeigneter Werte oder mit dem
Cursor Grenzen eines Intervalls zu setzen, in dem sich die Nullstelle
befindet (Lower Bound? [ENTER] Upper
Bound? [ENTER]) (Bild 22).
Der Cursor zeigt die Nullstelle an und die Koordinaten werden ausgewiesen (Bild 23).
Ohne grafische Darstellung erhält man die Nullstellen durch Lösen der entsprechenden Gleichung mit dem Solve-Operator (siehe 1. Lösen von Gleichungen) (Bild 24).
9. Verhalten im Unendlichen / Bestimmen
von Grenzwerten
Im Menü [F3] (Calc) sind wichtige Funktionen
zur Differenzial- und Integralrechnung zu finden, so auch die Funktion limit zur Ermittlung
von Grenzwerten (Bild 25).
Untersucht wird das Verhalten im Unendlichen der Funktion 
Nach Aufrufen von [F3] [3] (limit() im Home-Editor
wird der Funktionsterm eingegeben (Klammersetzung für Zähler
und Nenner beachten!). Danach folgt, jeweils durch ein Komma getrennt,
die Variable und die Richtung: Zeile 1 für 
Zeile 2 für 
(Bild
26).
Analog zu Bild 26 wird der Grenzwert des Differenzenquotienten der Funktion
gebildet.
Nach limit( und Eingabe des Funktionsterms
folgt die Variable h und 0 als "Richtung". Nach Bestätigung
mit [ENTER] erhält man als gesuchten Grenzwert cos x (Bild 27).
10. Bilden von Ableitungen
Ableitung der Funktion 
Nach Aufrufen von [F3] [1] (d(differentiate)
(vgl. Bild 25) oder [2nd] [8] (d) wird der
Funktionsterm gefolgt von der Differenziationsvariablen x eingegeben (Zeile
1). Nach Schließen der Klammer und [ENTER] wird der Term der Ableitungsfunktion
angezeigt (Zeile 2). Um die Ableitung der Funktion an einer Stelle zu
ermitteln, wird die bisherige Eingabe über den mit-Operator
([2nd] [K]) durch die Stelle 
ergänzt (Zeile 3). Zeile 4 weist das Ergebnis 
aus. Vom Rechner wird jedoch nicht die Schreibweise 
,
sondern 
verwendet. Für die Ableitungsfunktion wurde am Rechner der Exakt-Modus
([MODE] [Exact / Approxe] [2] (exakt)
eingestellt, für die Berechnung der Ableitung an der Stelle der Approx-Modus
([MODE] [Exact / Approxe] [3] (approximate)
(Bild 28).
In Bild 29 wurden die 2. und 3. Ableitung der Funktion gebildet. Die Vorgehensweise ist wie zu Bild 28 erläutert. In der Eingabezeile ist nach der Differenziationsvariablen lediglich der Grad der Ableitung zu ergänzen.
Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle kann auch aus der grafischen Darstellung heraus erfolgen. Dazu wählt man [F5] [6] (d(differentiate) [dy/dx] und gibt im wieder erscheinenden Grafikbildschirm über die Tastatur oder mit Cursor die Stelle (x = - 0,5) vor und bestätigt mit [ENTER] (Bild 30).
Im Grafikbildschirm wird nun durch den Cursor der ausgewählte Punkt
angezeigt. Gleichzeitig wird die Ableitung an dieser Stelle ausgewiesen
. Es
besteht Übereinstimmung zur Berechnung in Bild 28 (Bild 31).
11. Ermitteln lokaler Extrempunkte
Ist die Funktion grafisch dargestellt, können die Koordinaten
von Hoch- und Tiefpunkten über die Trace-Funktion [F3] näherungsweise
bestimmt werden (siehe 7. Untersuchen eines
Funktionsgraphen mithilfe von ZOOM und TRACE).
Hier wird allerdings die Funktion [F5] [4] (Maximum)
zur Ermittlung des Hochpunktes verwendet. Durch Eingabe geeigneter Werte
oder mit dem Cursor werden untere Grenze (Lower Bound?
[ENTER]) und obere Grenze (Upper Bound? [ENTER])
eines Intervalls gesetzt, in dem sich die Extremstelle befindet (Bild
32).
Der Cursor zeigt den Hochpunkt an und die Koordinaten werden ausgewiesen. (In gleicher Weise wird [F5] [3] (Minimum) zur Bestimmung des Tiefpunktes benutzt.) (Bild 33)
Ohne grafische Darstellung erhält man die Extremstellen u.a. durch
Anwenden der Funktion fMax bzw. fMin
im Menü [F3] (Calc) (vgl. Bild 25). Nach
Auswahl von fMax bzw. fMin
werden Funktionsterm und Differenziationsvariable in die Eingabezeile
eingetragen. Wie Zeile 1 zeigt, genügt das nicht in jedem Fall, um
im Ergebnis eine vorhandene lokale Extremstelle
zu erhalten. Der Rechner weist hier mit 
eine globale Extremstelle aus. Um die lokale
Extremstellen zu erhalten, sind über den mit-Operator
([2nd]
[K]) geeignete Intervallgrenzen vorzugeben (Zeilen 2 und 3). Diese können
relativ leicht einer grafischen Darstellung entnommen werden. Zeile 5
zeigt die Berechnung des zur Extremstelle x = 4 gehörenden Funktionswertes.
Der Wert x = 4 wird – wieder über den mit-Operator
– in den Funktionsterm eingesetzt; der Extremwert lautet 16 (Bild 34).
12. Ermitteln unbestimmter und bestimmter
Integrale
Integration der Funktion 
Nach Aufrufen von [F3] [2] 
(vgl. Bild 25) oder [2nd] [7] 
wird der Funktionsterm eingegeben.
Wird, durch Komma getrennt, nun noch
die Integrationsvariable x ergänzt, erhält man nach Schließen
der Klammer und [ENTER] eine Stammfunktion von f (Zeile 1). (Die Darstellung
erfolgt hier im pretty print-on-Modus.) werden
nach der Variablen – wieder durch Komma getrennt – noch Integrationsgrenzen
(hier -1 und 2) hinzugefügt, wird das bestimmte
Integral in den gegebenen Grenzen berechnet (Zeile 2) (Bild 35).
Ist der Graph der Funktion dargestellt, kann die Berechnung des bestimmten
Integrals auch aus dem Grafikbildschirm heraus erfolgen. Nach Aufrufen
der Funktion [F5] [7] 
werden die Intervallgrenzen eingegeben (Lower Limit?
[ENTER] Upper Limit? [ENTER]) (Bild 36).
Das bestimmte Integral wird berechnet 
Gleichzeitig wird die Fläche unter der Kurve im vorgegebenen Intervall
schraffiert dargestellt (Bild 37).
