1.
Lösen linearer Gleichungssysteme
Folgendes Gleichungssystem
sei zu lösen:
Bild 1 bis Bild 3 demonstrieren einen Lösungsweg, der dem GAUSS-Algorithmus
entspricht:
In Zeile 1 (Bild 1) wird mithilfe der solve-Funktion
Gleichung 1 nach 
aufgelöst.
In Zeile 2 wird Gleichung 2 nach 
aufgelöst. Gleichzeitig wird über den mit-Operator
([2nd]
[K]) der Wert für
in Gleichung 2 eingesetzt. Man erhält
in Abhängigkeit von 
In Fortsetzung von Bild 1 wird Gleichung 3 nach 
aufgelöst. Gleichzeitig werden über den mit-Operator
und die Verknüpfung "and" 
(als Resultat aus Bild 1) ersetzt. (Vor und nach "and" ist ein
Leerzeichen zu setzen!) Man erhält 
(Bild 2)
Als nächstes wird
berechnet. Dazu wird der Wert von
in den Term für
eingesetzt.
Man erhält 
.
Als Letztes werden die Lösungen für 
in den Term von
eingesetzt. Man erhält 
(Bild 3)
Weitaus effektiver ist die Lösung des Gleichungssystems über Matrizen. Der VOYAGE 200 stellt im MATH/Matrix-Menü ([2nd] [5]) zwei Befehle zum Lösen linearer Gleichungssysteme zur Verfügung. Da simult nur für eindeutig lösbare Gleichungssysteme vom Typ "n Variable und n Gleichungen" genutzt werden kann, ist der Operator rref allgemeingültiger und wird im Allgemeinen bevorzugt.
Nach Aufrufen der Funktion rref( wird eine erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt. Dazu werden die Koeffizienten und die Absolutglieder des Gleichungssystems innerhalb der Klammer [ ] zeilenweise eingetragen. Die einzelnen Koeffizienten werden durch ein Komma getrennt; ein Semikolon am Zeilenende führt zur nächsten Zeile. Nach Schließen der (runden) Klammer und Abschluss mit [ENTER] bringt rref( das System auf Diagonalform, aus der man die Lösung in der letzten Spalte ablesen kann (Bild 4).
Wird die Funktion simult verwendet, sind Koeffizientenmatrix und Vektor der Absolutglieder einzeln und durch Komma getrennt aufzustellen. Die Eingabe erfolgt wie zu Bild 4 beschrieben. Die Lösungen des Gleichungssystems werden über simult als Lösungsvektor ausgewiesen (Bild 5).
Die Bilder 6 und 7 stellen ein und dieselbe Rechnung dar, Bild 7 ist
lediglich die Zeilenfortsetzung von Bild 6. Nach Aufrufen des solve-Befehls
([F2] [1] (solve( ) ) werden die Gleichungen
des Systems nacheinander und durch "and" verküpft eingegeben.
(Vor und nach "and" ist ein Leerzeichen zu setzen!) Nach einem
Komma folgen innerhalb einer geschweiften Klammer die aufzulösenden
Variablen 
Mit [ENTER] erhält man sofort 
Dieser Lösungsweg ist allerdings nur bei eindeutig lösbaren
Gleichungssystemen anwendbar.
Die letzte Zeile der umgeformten Matrix, zu interpretieren als 
,
weist auf einen Widerspruch hin, das Gleichungssystem ist also nicht lösbar
(Bild 8).
Die Umformung mit rref bringt die Matrix auf Trapezform, das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen (Bild 9).
2. Rechnen mit Vektoren
Vektoroperationen findet
man beim VOYAGE 200 im Menü [2nd] [5] (MATH)
[4] (matrix) [L] (Vector
ops). Das geöffnete Untermenü enthält u.a. die
häufig benötigten Funktionen unitV( (Einheitsvektor),
crossP( (Vektorprodukt) und dotP(
(Skalarprodukt) (Bild 10).
Jede Formel lässt sich definieren ([F4] [1] (define))
und steht dann jederzeit für Berechnungen zur Verfügung, so
auch die Rechenvorschrift für den absoluten Betrag (Bild 11, Zeile
1) eines Vektors. In Zeile 2 wird der Betrag des Vektors 
berechnet. Dazu werden der gewählte Funktionsname betrag und in runden
Klammern die Werte für 
vorgegeben. Mit [ENTER] erhält man in der exakt-Einstellung ([MODE]
[Exakt / Approx] [2] (exakt))
das Ergebnis 
.
Einfacher ist es, soweit vorhanden, vordefinierte Funktionen zu verwenden. So erhält man den absoluten Betrag eines Vektors durch Vorgabe der Funktion norm (schreiben oder MATH/matrix-Menü ([2nd] [5] (MATH) [4] (matrix) [H] (Norms) [1] (norm() ). Danach sind in eckigen Klammern und durch Komma getrennt die Koordinaten des Vektors einzugeben. Nach Schließen mit runder Klammer und [ENTER] erhält man wiederum den Betrag, in Zeile 3 wieder im exakt-Modus und in Zeile 4 nach Umstellen in den approx-Modus ([MODE] [Exakt / Approx] [3] (approximate)) (Bild 11).
Über das MATH /matrix-Menü (Bild
10) werden in Zeile 1 das Skalarprodukt 
in Zeile 2 das Vektorprodukt 
und in Zeile 3 der Einheitsvektor des Vektors 
berechnet. Dabei sind die Vektoren in der Form 
einzutragen (Bild 12).
Werden die Koordinaten innerhalb der eckigen Klammer durch ein Semikolon getrennt, erfolgt die Darstellung der Vektoren in Spaltenform (Bild 13).
3. Winkelberechnungen
Zur Berechnung von Winkeln
werden die entsprechenden Rechenvorschriften verwendet oder aber für
wiederkehrende Rechnungen definiert und gespeichert:
Zur Berechnung eines von zwei Vektoren 
eingeschlossenen Winkels 
wird die Gleichung 
verwendet. Der Term 
(Skalarprodukt) wird über dotP, die Beträge
werden
über norm ermittelt (vgl. Bilder 11 und
12). Als Ergebnis wird für 
der Wert -0,04962917 ausgewiesen.
In Zeile 2 liefert [2nd] [cos]
schließlich den gesuchten Winkel zu 
(Die Einheit Grad ergibt sich aus der DEG-Einstellung
in [MODE] [Angle] [2] (degree).
In Zeile 3 wird die verwendete Gleichung für zwei Vektoren 
unter dem Variablennamen winvek definiert und gespeichert. Die
komplette Eingabe lautet:
(Bild 14)
Bild 15, Zeile 1 zeigt die Fortsetzung der zuletzt vorgenommenen Eingabe.
Solange diese Definition im Rechner gespeichert bleibt, kann nach Aufrufen
der Funktion winvek und nachfolgender Eingabe
der Koordinaten zweier Vektoren der Winkel
zwischen diesen schnell ermittelt werden (Zeile 2).
Sind 
Richtungsvektoren zweier Geraden oder Normalenvektoren zweier Ebenen,
können mit der Funktion winvek auch Schnittwinkel zweier Geraden
bzw. Ebenen ermittelt werden. Dabei ist zu berücksichtigen, dass
ein Schnittwinkel 
als spitzer (oder rechter) Winkel definiert ist. 
In Bild 16, Zeile 1 wird mithilfe von crossP
aus den Spannvektoren 
einer Ebene ein Normalenvektor ermittelt, in Zeile 2 erfolgt das Gleiche
für die Spannvektoren 
einer zweiten Ebene.
In Zeile 3 wird aus den ermittelten Normalenvektoren über die vorher
definierte Funktion winvek der Winkel zwischen
den Normalenvektoren berechnet und Zeile 4 liefert schließlich den
gesuchten Schnittwinkel der beiden Ebenen.
4. Vektorielle Geradengleichungen
Wird eine vektorielle
Geradengleichung (hier 
)
eingegeben und mit [ENTER] bestätigt, erscheint ein äquivalentes
System von drei Gleichungen. Um daraus einen speziellen Punkt der Geraden
zu ermitteln, wird der Parameter 
über den mit-Operator
([2nd] [K]) angefügt. Die vollständige Eingabe kann in der Eingabezeile
abgelesen werden.
Bei der hier gewählten Form erhält man Koordinaten des Punktes
als Spaltenvektor (Bild 17).
Für wiederholte Berechnungen empfiehlt es sich, die Geradengleichung
in allgemeiner Form als Funktion 
zu definieren und abzuspeichern (Bild 18, Zeile 1). In Zeile 2 wird g
für spezielle Vektoren 
und beliebigem Parameter t aufgerufen, es entsteht ein zur Geradengleichung
äquivalentes Gleichungssystem. Wird an Stelle von t eine reelle Zahl
eingesetzt, ergibt sich wieder der dazugehörige Geradenpunkt (Zeile
3).
In Bild 19 wird untersucht, ob der Punkt 
auf der Geraden g: 
liegt. Dazu wird die Gerade noch einmal über die vorher definierte
allgemeine Geradengleichung eingegeben und dann mit dem Vektor des Punktes
gleichgesetzt
(s. Eingabezeile). Es entsteht ein zu lösendes Gleichungssystem.
Das Gleichungssystem wird in Bild 20, Zeile 2 mithilfe des rref-Operators
gelöst (vgl. die Erläuterungen zu Bild 4).
Die entstandene Lösungsmatrix ist zu interpretieren:
Da Zeile 1 dem System eine eindeutige Lösung zuweist und Zeilen 2
und 3 keinen Widerspruch ausweisen, wird das Gleichungssystem für
t = 3,5 gelöst; der Punkt
liegt also auf der Geraden g.
Bild 21 ist zu untersuchen, ob der Punkt 
ein Punkt der Geraden g ist. Die Eingabe erfolgt analog zu Bild 20. Entscheidend
ist dann die Interpretation der Lösungsmatrix:
Da Zeile 2 einen Widerspruch ausdrückt, ist dieses Gleichungssystem
nicht lösbar; der Punkt 
liegt also nicht auf der Geraden g.
5. Lagebeziehungen von Geraden im
Raum
Untersucht wird die Lagebeziehung
von Geraden g1, g2 und g3 mit 
Die Gleichungen der drei Geraden werden mithilfe der bereits im Rechner
gespeicherten allgemeinen Geradengleichung (vgl. Bild 18) gebildet und
unter den Variablennamen g1, g2, g3 gespeichert (
[g] [1] usw.) (Bild 22).
In der Annahme, dass 
und 
gemeinsame Punkte haben, werden die vorher gespeicherten Gleichungen aufgerufen
und dabei sofort gleichgesetzt:
[g][1][=][g][2]
Es entsteht das zu lösende Gleichungssystem. Um die Funktion rref
zum Lösen des Gleichungssystems anwenden zu können (vgl. die
Erläuterungen zu Bild 4), werden die Gleichungen – ohne Hilfe des
Rechners – umgeformt:
Aus Koeffizienten und Absolutgliedern wird nun die Matrix gebildet, auf
die der rref-Operator angewandt wird. Aus der entstandenen Matrix erhält
man 
.
Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, die Geraden
und
schneiden einander in einem Punkt (Bild 23).
Auf gleichem Weg wie in Bild 23 dargestellt, wird die gegenseitige Lage
der Geraden
und 
untersucht. Hier drückt die Zeile 2 der vom rref-Operator umgeformten
Matrix mit 
einen
Widerspruch aus. Die Geraden
und
haben demzufolge keinen Schnittpunkt. Ob sie zueinander parallel oder
windschief sind, muss durch rechnerunabhängige Überlegungen
geklärt werden (Bild 24).
6. Abstandsberechnungen
Da die Abstandsberechnungen
weitestgehend auf die Anwendungen von Formeln zurückgeführt
werden können, besteht die Möglichkeit, die Berechnungen immer
wieder neu einzugeben oder für jeden Typ den Abstand einmal zu definieren
und dann darauf zurückzugreifen. Da die letztgenannte Variante auf
Dauer effektiver ist, wird sie im Folgenden beschrieben.
In Bild 25, Zeile 1 wird für den Abstand eines Punktes von einer
Ebene in Koordinatenform eine Funktion 
definiert und gespeichert.
Eingabe:
In Zeile 2 wird der Abstand des Punktes 
von der Ebene 
berechnet.
Für den Abstand eines Punktes von einer Geraden der Ebene wird in
Bild 26 eine Funktion 
definiert und gespeichert.
(Hiermit lässt sich auch der Abstand eines Punktes von einer Ebene
berechnen, nicht aber der Abstand eines Punktes von einer Geraden im Raum.)
Eingabe: 
(abs berechnet den absoluten Betrag einer Zahl,
norm den Betrag eines Vektors.)
In Zeile 2 wird der Abstand des Punktes 
von der Geraden 
berechnet. Die für die Parameter 
und n einzusetzenden Punkte bzw. Vektoren sind innerhalb eckiger Klammern
einzugeben. (Den Punkt 
der Geraden erhält man aus der Gleichung.)
Für den Abstand zweier windschiefer Geraden wird in Bild 27 mithilfe
des Vektorproduktes eine Funktion 
definiert und gespeichert.
Eingabe:
In Zeile 2 wird der Abstand der zueinander windschiefen Geraden 
und 
berechnet. Die für die Parameter p1, p2, a1 und a2 einzusetzenden
Punkte bzw. Vektoren sind innerhalb eckiger Klammern einzugeben.
