1.
Arbeiten mit dem Summenzeichen
In Bild 1 wird unter Verwendung des Summenzeichens ([2nd] [4]) die Summe
berechnet.
Das Summenzeichen verlangt
vier Argumente:
Je nachdem, ob sich der Rechner im Exakt- oder
im Approx-Modus befindet, wird das Ergebnis als
exakter Wert (als Bruch) oder als Näherungswert ausgewiesen. Die Anzahl
der Dezimalstellen lässt sich über [MODE]
[Display Digits] einstellen. In Zeile 2 wird die Summe 
als Funktion definiert und mittels 
unter su1(a,b) abgespeichert.
Gleiches erfolgt in Zeile 3 für eine Funktion 
Unter Verwendung der vorher definierten Funktionen werden dann die Summen su1(1,4) und su2 (0,10) berechnet (Bild 2).
In Bild 3 sollen die Summen su1 und su2
für 
berechnet werden. su1 ist nicht berechenbar;
die Folge 
ist divergent. su2 hat den Grenzwert 1.
2. Lösen linearer Gleichungssysteme
Folgendes Gleichungssystem
sei zu lösen:
Der VOYAGE 200 stellt im MATH/Matrix-Menü ([2nd]
[5], Bild 4) zwei Befehle zum Lösen linearer Gleichungen zur Verfügung.
Da simult nur für eindeutig lösbare
Gleichungssysteme vom Typ "n Variablen und n
Gleichungen" genutzt werden kann, ist der Operator rref
allgemeingültiger und wird bevorzugt. Bild 5 zeigt die eingegebene
Matrix: Dazu werden die Koeffizienten des Gleichungssystems und die Absolutglieder
innerhalb der Klammer [ ] zeilenweise eingetragen. Die einzelnen Koeffizienten
werden durch ein Komma getrennt; ein Semikolon am Zeilenende führt
zur nächsten Zeile. Durch Abschluss mit [ENTER] bringt der Operator
rref das System auf Diagonalform, aus der man
die Lösung unmittelbar ablesen kann (Bild 6).
3. Berechnungen zur Kombinatorik
Durch [2nd] [5] [7] findet man im MATH/Probability-Menü
(Bild 7) die Operatoren für Berechnungen zur Kombinatorik,
so z.B. die Anzahl n! der Permutationen, 
der Variationen ohne Wiederholung und 
der
Kombinationen ohne Wiederholung (Bild 8). Das
Fakultätszeichen erhält man auch durch [2nd] [W]. Eine Gesamtübersicht
über die Zweitbelegung der Buchstabentasten erhält man mittels
raute [K].
4. Erzeugen von Zufallszahlen und
Berechnen relativer und absoluter Häufigkeiten
Erzeugen von Zufallszahlen
mithilfe der Random-Funktion (rand buchstabenweise
eingeben oder [2nd] [5] [7] [4]):
Die häufig benötigten Zufallszahlen aus der Zweiermenge 
erhält man mit 
(int gibt die größte ganze Zahl
zurück, die kleiner oder gleich dem folgenden Term ist.) (Bild 9)
In Bild 10 wird die Simulation des mehrmaligen
Werfens einer Münze für 10 und für 100 Würfe dargestellt.
Die Ergebnisse werden mit dem Sequence-Befehl
in Listen erfasst und mit sto unter Angabe eines Namens gespeichert.
In 
bezeichnen 
den Befehl zur Erzeugung der Zufallszahlen aus der Zweiermenge 
den Bereich "für alle natürlichen Zahlen i von 1 bis 100"
.
Die Wiedergabe der aus den Listenwerten gebildeten absoluten und relativen Häufigkeiten des Auftretens der Zahl 1 zeigt Bild 11. Der Operator sum(liste) bildet die Summe von Elementen einer Liste. Dazu wird die Liste (liste) durch Aufzählen der Elemente innerhalb geschweifter Klammern, durch Aufrufen des gespeicherten Namens oder durch den Term zur Erzeugung der Liste (Zeile 3) eingegeben. Die Zeilen 3 und 4 stellen die Berechnung der relativen Häufigkeiten für Liste1 bzw. für Liste 2 dar.
5. Erstellen eines Programms zum Realisieren
von n Würfen eines idealen Würfels
Im Programm-Editor ([APPS]
[7] [3]) wird als Type Function und als Programmname
wuerfel eingegeben. Nach zweimaligem Betätigen
von [ENTER] öffnet der Programm-Editor ein "leeres" Programm
mit Programmnamen, Func für den Programmanfang
und EndFunc für das Programmende (Bild
12).
| Bild 13 zeigt die Angabe des fertigen Programms nach folgenden Arbeitsschritten: | |
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wuerfel (n,x) bezeichnet den Programmnamen. In die anfangs leere Klammer sind die Parameter n (Anzahl der Versuche) und x (initialisiert den Pseudozufallsgenerator) einzugeben. |
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Local i, liste, augz erzeugt eine lokale Variable i und die Ordner liste und augz. |
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RandSeed x erzeugt eine Ausgangsbasis für die Zufallszahlgenerierung. |
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legt eine Liste an, in welche die "gewürfelten Augenzahlen"
abgelegt werden. |
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For i, 1, n erzeugt eine For-Schleife für alle natürlichen Zahlen i von 1 bis n. |
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ermittelt ganzzahlige Zufallszahlen Z aus dem Intervall 
und legt sie als augz ab. |
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ordnet die jeweils neue Zufallszahl der bestehenden Liste zu. |
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EndFor markiert das Ende der For-Schleife. |
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liste erzeugt die Liste, die nach dem Programmstart als Resultat ausgewiesen wird. |
| (Da das erstellte Programm bei jeder Eingabe automatisch gespeichert wird, ist ein manuelles Speichern überflüssig. Mit [2nd] [VAR-LINK] erhält man eine Übersicht der auf dem Rechner bereits gespeicherten Variablennamen.) | |
Die Ausführung des Programms im HOME-Editor (
[HOME]) für 100 "Würfe" stellt Bild 14 dar. In die
Eingabezeile wird der Programmname, gefolgt von den Argumenten der Funktion
n und x, eingegeben. Die Zahl 7777 ist eine beliebige Zahl zur Initialisierung
des Zufallsgenerators. Man erhält eine Liste von 100 "gewürfelten
Zahlen", die durch den zusätzlichen Befehl
unter dem Namen liste gespeichert wird.
6. Erzeugen eines Histogramms
Die Schrittfolge für die Erzeugung
eines Histogramms soll hier anhand der im vorhergehenden Beispiel
erzeugten Liste "gewürfelter" Zahlen dargestellt werden.
Der Graph-Modus des Rechners ([MODE] [Graph]) ist auf SEQUENZ einzustellen. Im Daten/Matrix-Editor ([APPS] [6] [2]) wird als Type List und als Programmname liste eingegeben. Nach zweimaligem Betätigen von [ENTER] erscheint Bild 16 (Bild 15).
Spalte c1 der Tabelle enthält die Liste der darzustellenden Ereignisse. Mit [F2] wird das Plot Setup ausgewählt (Bild 16).
[F1] führt sofort zum Plot Menü (Bild 17).
Die Skalierung des Histogramms erfolgt im Window-Editor (
[E] (WINDOW)) nach den abgebildeten Vorgaben,
wobei für ymax in Abhängigkeit von
n auch andere Werte sinnvoll sein können (Bild 19).
Mit Öffnen des Grafikbildschirms (
[R] (GRAPH)) entsteht das Histogramm (Bild
20).
7. Berechnen von Werten der Binomialverteilung
In Zeile 1 des HOME-Editors (Bild 21) wurde die Formel zur Berechnung
binomialer Warscheinlichkeiten definiert und als 
gespeichert. Die aufsummierten binomialen Wahrscheinlichkeiten wurden
in Zeile 2 definiert und als 
gespeichert. Damit ist es möglich, Werte der Binomialverteilung ohne
großen Aufwand auch ohne entsprechende Tabellen zu bestimmen.
Durch Eingabe des gespeicherten Variablennamens bi, gefolgt von einer in Klammern gesetzten Vorgabe für n, p und k, erfolgt die Berechnung von Werten der Binomialverteilung (Bild 22).
Unter Verwendung von
werden vier Werte der Verteilung 
berechnet. In Zeile 2 erfolgt dabei die Berechnung von 
in Zeile 3 von 
und in Zeile 4 von 
(Bild 23).
8. Veranschaulichen einer Binomialverteilung
Dargestellt wird die Binomialverteilung
.
Die Werte der Binomialverteilung werden als Glieder einer Zahlenfolge
aufgefasst. Deshalb ist der Graph-Modus ([MODE] [Graph])
auf SEQUENZ einzustellen.
Aus Platzgründen wurde hier ein geteilter Bildschirm ([MODE] [F2]
[Split Screen] [3] (LEFT-RIGHT))
verwendet (Bild 24). (Ein Wechsel zwischen den beiden Bildschirmhälften
erfolgt durch [2nd] [APPS]). Die linke Bildschirmhälfte gibt hier
den Y-Editor (
[W] (Y=)) wieder. Als Funktionsterm wird die
vorher definierte Binomialverteilung
(Bild 21) mit den Parametern n = 14 und p = 0,5 und der Variablen n (nicht
k) eingegeben . Im Window-Editor (rechte Bildschirmhälfte,
[E] (WINDOW)) werden die Darstellungsbereiche
eingegeben und es wird die Skalierung vorgenommen.
Zum Erzeugen des Diagramms wird der volle Bildschirm wiederhergestellt
([MODE] [F2] [Split Screen] [1] (FULL)).
Nach Aufrufen des Grafikbildschirms (
[R] (GRAPH)) erscheint die Darstellung der
Binomialverteilung .
Benutzt man [F2] (Trace), so kann man die geplotteten
Punkte der Kurve mit dem Cursor abfahren und die entsprechenden Werte
ablesen (Bild 25).
Die im Y-Editor eingegebene Funktion wird im Tabellen-Bildschirm (
[Y] (TABLE)) numerisch ausgewiesen. Man erhält
eine Tabelle der Binomialverteilung
(Bild 26).
9. Berechnen von Werten einer Normalverteilung
Auch durch Berechnung von Werten der Normalverteilung
lassen sich entsprechende Tabellen ersetzen.
In Bild 27 wird die Formel der Normalverteilung definiert und als 
gespeichert. In die Eingabezeile wird dazu eingegeben:
Die griechischen Buchstaben erhält man durch Eingabe des entsprechenden
Buchstabens nach [2nd] [G], also 
Durch Eingabe von 
wurde in Zeile 2 ein Wert der Standardnormalverteilung 
berechnet.
Wegen ihrer besonderen Bedeutung werden in Bild 28 die Dichtefunktion
und
die Verteilungsfunktion 
der Standardnormalverteilung gesondert definiert.
Die Berechnung von 
wird in Bild 29 angezeigt.
10. Darstellen einer Standardormalverteilung
Der Graph-Modus ([MODE] [Graph]) ist auf FUNCTION
einzustellen.
Im Y-Editor (
[W] (Y=)) wird die vorher definierte Funktion stdnormd(x)
eingegeben. Anschließend werden im Window-Editor (
[E] (WINDOW)) die entsprechenden Einstellungen vorgenommen 
(Bild 30).
Im Grafikbildschirm (
[R] (GRAPH)) wird die Standardnormalverteilung
dargestellt. Benutzt man [F5] (Math), [7] 
so kann man die Fläche unter der Kurve zu ihrer Kennzeichnung schraffieren
(Bild 31).
Nach Aufrufen von [F5] [7] sind die untere Grenze (Lower
Limit ?) und die obere Grenze (Upper Limit
?) des zu schraffierenden Bereichs mithilfe des Cursors zu markieren
bzw. als Zahlenwert einzugeben. Jede Eingabe ist mit [ENTER] abzuschließen.
Der Inhalt der schraffierten Fläche entspricht dem Wert der Verteilungsfunktion
in den eingetragenen Grenzen (hier: - 4 und 1,5). Für eine hinreichend
kleine untere Grenze ist der angegebene Integralwert ungefähr gleich
dem Wert der Verteilungsfunktion 
(Bild 32).
