Unter Verwendung
der Exponentialfunktion 
lassen sich weitere Funktionen, die sogenannten hyperbolischen
Funktionen (bzw. Hyperbelfunktionen),
definieren:
- Sinus hyperbolicus (bzw. Hyperbelsinus,
Bild 1)
- Cosinus hyperbolicus (bzw. Hyperbelkosinus,
Bild 1)
die Form einer Kette, wenn man diese an ihren Enden aufhängt. Deshalb
wird diese Kurve auch als Kettenlinie
bezeichnet.Entsprechend der Beziehungen bei den trigonometrischen Funktionen kann man noch ergänzen:
- Tangens hyperbolicus (bzw. Hyperbeltangens,
Bild 2)
- Cotangens hyperbolicus (bzw. Hyperbelkotangens;
Bild 2)
Eigenschaften der hyperbolischen Funktionen
Die wichtigsten Eigenschaften der hyperbolischen Funktionen sind in obiger Tabelle zusammengefasst, auf einige der Eigenschaften wird im Folgenden näher eingegangen.
Symmetrieverhalten
Es gilt:
Die Funktion 
ist demzufolge eine ungerade Funktion und ihr Graph liegt zentralsymmetrisch
(punktsymmetrisch) zum Koordinatenursprung O; die Funktion
ist gerade mit der y-Achse als Symmetrieachse.
Verhalten im Unendlichen
Mithilfe der Grenzwertsätze erhält man:
Weiter ist:
Wegen der Symmetrie zur x-Achse ist auch 
.
Monotonieverhalten
Aus 
folgt wegen der Monotonie der Exponentialfunktion über ihrem gesamten
Definitionsbereich 
und damit 
.
Für den Sinus hyperbolicus gilt somit
denn
und 
.
Die Funktion
ist über dem gesamten Definitionsbereich monoton wachsend (steigend).
Für die Funktion
ist bei der Untersuchung des Monotonieverhaltens eine Fallunterscheidung
für positive und negative x-Werte vorzunehmen. Durch analoge Umformungen
wie beim Sinus hyperbolicus lässt sich zeigen, dass die Funktion
für 
monoton fallend und für 
monoton wachsend ist.
Extremwerte
Zur Untersuchung der hyperbolischen Funktionen auf Extrema werden deren
Ableitungen benötigt. Es gilt:
Da 
für
alle 
gilt, besitzt die Funktion
keine Extremwerte. Dagegen hat Funktion
an der Stelle x = 0 ein Minimum, also ist der Punkt P(0; 1) Minimumpunkt.
Funktionsverlauf
Die in den Bildern 1 bzw. 2 dargestellten Graphen von und
zeigen,
dass diese keine Ähnlichkeit mit den Graphen der trigonometrischen
Funktionen haben.
Analogien zu den trigonometrischen Funktionen ergeben sich in den Additionstheoremen
und weiteren (wie aus der Trigonometrie bekannten) Beziehungen. So gilt:
Weiter ist:
Statt des sogenannten "trigonometrischen Pythagoras" gilt (wie
man durch Einsetzen überprüfen kann) die folgende Beziehung:
Diese Formel lässt erkennen, dass 
und 
der Gleichung einer gleichseitigen Hyperbel der Form 
genügen. Daraus resultiert die Bezeichnung hyperbolische Funktionen
bzw. Hyperbelfunktionen.
Die Theorie dieser Funktionen begründete der italienische Mathematiker VINCENZO RICCATI (1707 bis 1775, Bild 3) unter Verwendung geometrischer Betrachtungen. Im Jahre 1768 kam dann JOHANN HEINRICH LAMBERT (1728 bis 1777) auf die Idee, die hyperbolischen Funktionen für die Trigonometrie zu nutzen.