Lässt sich
bei der Integration gebrochenrationaler Funktionen der Funktionsterm nicht
durch eine einfache Division in eine Summe umwandeln, so kann die Integration durch Partialbruchzerlegung
angewendet werden.
Jede gebrochenrationale Funktion lässt sich in eine Summe einfacher Teilbrüche zerlegen.
Der Lösungsansatz für diese Partialbruchzerlegung ist hierbei
davon abhängig, ob die Funktion im Nenner einfache oder mehrfache,
reelle oder komplexe Nullstellen hat. Es soll hier der Fall betrachtet werden,
dass die Nennerfunktion einfache
oder mehrfache reelle Nullstellen besitzt.
Beispiele:
a) 
Der Integrand ist hier eine unecht gebrochenrationale Funktion. In einem
solchen Fall ist die Funktion vor der Partialbruchzerlegung in eine ganzrationale
Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion zu zerlegen. Das geschieht durch Partialdivision:
Damit folgt für den angegebenen Quotienten:
Auf den echt gebrochenrationalen Anteil der Funktion wird nun folgendes
Verfahren angewendet:
Die Nennerfunktion besitzt zwei reelle Nullstellen 
Deshalb wählt man den Ansatz
Der Vergleich der Koeffizienten in den Zählern des ersten und des
letzten Gliedes obigen Gesamtausdrucks führt zu dem Gleichungssystem
mit der Lösung
A = 2 und B = 3.
Somit erhält man:
b) 
In diesem Fall hat die Nennerfunktion die einfache reelle Nullstelle 
und die doppelte reelle Nullstelle 
.
Der Ansatz für die Partialbruchzerlegung lautet:
Koeffizientenvergleich führt zu dem Gleichungssystem
mit der
Lösung A = 2, B = 3 und C = 4.
Somit erhält man:
