Während beim
Differenzieren elementarer Funktionen wieder elementare Funktionen entstehen,
gibt es zahlreiche elementare Funktionen, deren unbestimmte Integrale sich
nicht durch elementare Funktionen ausdrücken lassen.
Scheinbar geringfügige Veränderungen im Funktionsterm erfordern
u. U. völlig andere Lösungswege oder führen zu nicht mehr
elementar integrierbaren Funktionen. Als Beispiele seien die Funktionen
genannt.
Während die Funktion f mit der Methode der partiellen Integration elementar
integrierbar ist, kann man das Integral der Funktion g nicht mit elementaren
Mitteln berechnen. Ähnlich verhalten sich die Funktionen 
.
Bei der Integration von Produkten von Funktionen oder von verketteten Funktionen
finden häufig die Substitutionsmethode Anwendung.
Ist in der verketteten Integrandenfunktion die innere Funktion eine lineare
Funktion, so kann die Integration durch lineare
Substitution erfolgen:
Es sei f eine verkettete
Funktion mit 
und 
sowie
F eine Stammfunktion der
äußeren Funktion v. Dann gilt:
Beispiele:
a) 
b) 