Ist im Integranden eines Integrals eine verkette Funktion und außerdem noch die Ableitungsfunktion der inneren Funktion als Faktor vorhanden, so kann die Integration durch nichtlineare Substitution erfolgen.
Satz:
Es sei 
und V eine Stamfunktion von v. Dann ist F mit 
eine Stammfunktion von f:
Beispiele:
a) 
b) 
c) 
=
1. Lösungsweg:
Da cos x die Ableitung von sin x ist, substituiert man z = sin x, woraus
folgt.
Damit gilt: 
2. Lösungsweg:
Man kann ebenso -sin x als Ableitung von cos x auffassen und setzt
z = cos x. Damit gilt: 
-.
Also: 
Die Probe durch Differenzieren zeigt die Richtigkeit auch dieser zweiten
Lösung.
Unter Verwendung der Beziehung 
lässt sich zeigen, dass die beiden Lösungen identisch sind.
d) 
Durch die Umformung 
steht im Zähler der Integrandenfunktion die Ableitung des Nenners.
Deshalb bietet sich die Substitution 
Damit gilt:
(3) Das obige Beispiel kann zu einem Spezialfall der Substitutionsregel
verallgemeinert werden. Es gilt:
Diese Regel wird manchmal auch als "logarithmisches
Integrieren" bezeichnet.
Bei der Berechnung bestimmter Integrale der Form 
kann man in der Resultatsangabe anstelle der Stammfunktion 
auch die Stammfunktion 
verwenden, d. h., man braucht nicht wieder "zu resubstituieren",
wenn gleichzeitig die Integrationsgrenzen a und b durch u(a) und u(b)
ersetzt werden.
Beispiel:
