Der (historisch
gesehen) zunächst nur naiv gefasste Begriff der reellen Zahl bedurfte
einer exakten Fundierung. Dies gelang RICHARD DEDEKIND (1831 bis 1916),
der mithilfe eines Schnittes zwischen zwei rationalen Zahlenmengen zu einer
exakten Definition der reellen Zahlen gelangte.
Ein etwas anderes Vorgehen ist die Methode der
Intervallschachtelungen, die im Folgenden skizziert wird.
Unter einem abgeschlossenen Intervall
versteht
man bekanntlich eine Teilmenge einer Zahlenmenge M, die aus allen Zahlen
x besteht, die folgende Bedingungen erfüllen:
(Damit gehören beide Randpunkte a und b zum Intervall. Ist dies nicht
der Fall, spricht man von einem offenen bzw. halboffenen Intervall.)
Den Begriff der Intervallschachtelung
definieren wir nun folgendermaßen:
- Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen
mit 
für alle 
heißt Intervallschachtelung,
wenn die Intervalllängen 
mit wachsendem n immer kleiner werden und unter jede noch so kleine
Schranke sinken.
Es gilt dann 
für alle n und die Folge 
ist eine Nullfolge (s. auch folgendes Bild).
In der Menge 
der natürlichen Zahlen und in der Menge 
der ganzen Zahlen lassen sich solche Intervallschachtelungen, bei denen
das folgende Intervall immer eine Teilmenge des vorhergehenden ist und
bei denen die Intervalllängen immer kleiner werden, nicht bilden,
da die Intervalllänge 1 nicht unterschritten werden kann.
In der Menge 
der rationalen Zahlen dagegen lassen sich solche Intervallschachtelungen
bilden, da die rationalen Zahlen überall dicht liegen. Damit ist
die Bedingung, dass die Folge
eine Nullfolge ist, erfüllbar.
Jede Intervallschachtelung in
besitzt nun einen Kern c mit 
für alle .
Dieser Kern ist eine reelle Zahl.
Wir betrachten dazu zwei Beispiele:
Wie Beispiel 2 zeigt, muss der Kern
einer Intervallschachtelung in der Menge
der rationalen Zahlen nicht immer selbst eine rationale Zahl sein.
Durch eine Intervallschachtelung wird aber genau eine reelle Zahl (als
Kern) definiert. Die Existenz eines Kernes
ist gesichert, weil 
möglich ist. Die Eindeutigkeit ergibt
sich daraus, dass die Annahme zweier verschiedener Kerne 
im Widerspruch zu der Bedingung steht, dass
eine Nullfolge ist.
In der Menge 
der reellen Zahlen besitzt jede Intervallschachtelung als Kern eine reelle
Zahl. Damit ist die Menge der reellen Zahlen abgeschlossen,
d.h., eine Erweiterung ohne Verzicht auf wesentliche Eigenschaften ist
nicht mehr möglich.
Die Verknüpfung reeller Zahlen (das Rechnen mit ihnen) kann man nun mithilfe der sie definierenden Intervallschachtelungen erklären. Dabei zeigt sich, dass man mit reellen Zahlen wie mit rationalen Zahlen rechnen kann. Insbesondere gelten solche Gesetzmäßigkeiten wie die Kommutativ- und Assoziativgesetze der Addition und Multiplikation sowie das Distributivgesetz.