Inversion, am Kreis

Im Folgenden wird als eine spezielle Abbildung der Ebene auf sich selbst, die Inversion am Kreis, betrachtet.

• Definition. Es sei der Mittelpunkt des Kreises (dem Inversionskreis) mit dem Radius r.
  Eine Abbildung heißt Inversion am Kreis, wenn für alle Punkte gilt:
  (1) liegt auf dem Strahl mit dem Anfangspunkt
  (2)
  (Siehe Bild 1 bzw. folgendes Textbild))

Anmerkung: Die Eigenschaft (2) entspricht dem Kathetensatz.

Die Inversion am Kreis hat folgende Eigenschaften:

• Die Punkte des Inversionskreises werden auf sich selbst abgebildet, d.h., für alle gilt
• Der Mittelpunkt des Inversionskreises wird auf den unendlich fernen Punkt abgebildet, d.h., es gilt
• Die Inversion ist umkehrbar, d.h., es gilt

Es lassen sich die folgenden Aussagen beweisen:

• Satz 1. Jede Gerade, die durch den Mittelpunkt des Inversionskreises verläuft, wird auf sich selbst abgebildet.
• Satz 2. Jede Gerade, die nicht durch den Mittelpunkt des Inversionskreises verläuft, wird auf einen Kreis durch den Mittelpunkt abgebildet.
• Satz 3. Jeder Kreis, der durch den Mittelpunkt des Inversionskreises verläuft, wird auf eine Gerade nicht durch abgebildet.
• Satz 4. Jeder Kreis, der nicht durch den Mittelpunkt des Inversionskreises verläuft, wird auf einen Kreis nicht durch abgebildet.

Wir betrachten die Inversion am Kreis für zwei Spezialfälle genauer.

• Spezialfall 1. Der abzubildende Kreis k verläuft durch den Mittelpunkt des Inversionskreises und schneidet den Inversionskreis in zwei Punkten

Das Bild ist nach Satz 3 eine Gerade g, die nicht durch verläuft. Da eine Gerade durch zwei Punkte eindeutig bestimmt ist und die beiden Schnittpunkte des Kreises k mit dem Inversionskreis auf sich selbst abgebildet werden (s. obige Eigenschaften), ist das Bild des Kreis k die Gerade g, auf der die Punkte liegen (s. nebenstehendes Bild).

• Spezialfall 2. Der abzubildende Kreis k verläuft durch den Mittelpunkt des Inversionskreises und sein Radius beträgt (auf den Radius des Inversionskreieses bezogen)

Das Bild des Kreises k ist die Tangente t an den Inversionskreis im Berührungspunkt von k und (s. nebenstehendes Bild).

Anwendung findet die Inversion (genauer gesagt der soeben betrachtete Spezialfall 2) beispielsweise bei der Umwandlung einer kreisförmigen Bewegung in eine geradlinige Bewegung (oder umgekehrt).
Als eine mechanische Konstruktion zur Ausführung der Inversion am Kreis sei hier der Inversor des Franzosen CHARLES-NICOLAS PEAUCELLIER (1832 bis 1913) vorgestellt. Dieses Gerät besteht aus einem in den Eckpunkten beweglichen Rhombus und zwei gleichlangen Stäben, die in A und B befestigt sind und in zusammenlaufen (Bedingung: ; s. Bild). Die Punkte liegen auf einer Geraden.
Wird der Punkt P auf einem Kreisbogen, der durch verläuft, geführt, so bewegt sich der Punkt auf einer Geraden. Der Beweis kann mithilfe von obigem Satz 3 und des Satzes von PYTHAGORAS geführt werden.