Um die Inverse einer Matrix zu bestimmen, gibt es die im Folgenden angeführten Verfahren (Möglichkeiten).
Verfahren nach GAUSS-JORDAN
Die Lösungsstrategie besteht darin, dass
mithilfe elementarer Matrizenumformungen
(Vertauschen zweier Zeilen; Multiplikation einer Zeile mit einem Faktor
; Addition
zweier Zeilen bzw. deren Vielfachen) die Matrix gegen die Einheitsmatrix
ausgetauscht wird.
Anmerkung: Der GAUSS-JORDAN-Algorithmus
stellt eine Erweiterung des GAUSS-Algorithmus dar, er wurde nach
dem französischen Mathematiker CAMILLE JORDAN (1838 bis 1922) benannt.
- Beispiel: Zur Matrix
ist die Inverse zu berechnen (s. auch interaktives Rechenbeispiel 1).
In der folgenden Tabelle sind die Umformungsschritte dargestellt:
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Austauschverfahren
Die Lösungsstrategie besteht darin, dass
die Zeile r und die Spalte s der Matrix vertauscht werden.
Dabei gilt für
- das Hauptelement:
- die Elemente der Hauptzeile:
- die Elemente der Hauptspalte:
- alle übrigen Elemente:
- Beispiel: Es ist die Inverse zur
Matrix
zu berechnen.
1. Austauschschritt (Zeile 3 gegen Spalte
1 mit dem Hauptelement 
):
Anwendung der Transformationsregeln ergibt:
Ergebnis:
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1
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-1
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-1
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0
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1
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2
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1
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1
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-2
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2. Austauschschritt: (Zeile 2 gegen Spalte
2):
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1
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-1
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1
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0
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1
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-2
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1
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1
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-4
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3. Austauschschritt (Zeile 1 gegen Spalte 3):
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-1
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1
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1
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2
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-1
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-2
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5
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-3
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-4
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In der richtigen Anordnung von Zeilen und Spalten ergibt sich damit
als inverse Matrix:
