Koordinatensystem, kartesisches

Unter einem Koordinatensystem versteht man im euklidischen Raum ein System von drei skalierten Geraden, die durch einen gemeinsamen Punkt, den Ursprung O, verlaufen und nicht in einer Ebene liegen (Analoges gilt für die Ebene).
Eine besondere Bedeutung besitzt das Koordinatensystem, bei dem die Achsen jeweils einen rechten Winkel bilden. Dieses System wird nach dem französischen Mathematiker RENÉ DESCARTES (1596 bis 1650, Bild 1) kartesisches Koordinatensystem genannt.

Koordinatendarstellung
Die folgende Abbildung zeigt ein ebenes und ein räumliches kartesisches Koordinatensystem.

In der Ebene ist jedem Punkt eineindeutig ein Zahlenpaar , im Raum eineindeutig ein Zahlentripel zugeordnet.
Die Elemente x, y und z des Zahlenpaares bzw. des Zahlentripels heißen die Koordinaten des Punktes P. Insbesondere in der Ebene wird die x-Koordinate als Abszisse und die y-Koordinate als Ordinate bezeichnet (interaktives Rechenbeispiel).

Die Anordnung der Achsen des Koordinatensystems erfolgt im mathematisch positiven Drehsinn und die Skalierung zählt vom Ursprung ausgehend in positive und negative Richtung.
Die Ebene wird durch das Koordinatensystem in vier Quadranten unterteilt, in denen die Koordinaten die in der folgenden Tabelle angegebenen Vorzeichen besitzen.

Der Raum wird durch das Koordinatensystem in acht Oktanten unterteilt, in denen die Koordinaten folgende Vorzeichen besitzen:

Darstellung in vektorieller Form
Das Koordinatensystem wird durch einen Ursprung O, der frei gewählt wird, und drei nichtkomplanare Vektoren gebildet. Sind die Vektoren paarweise zueinander orthogonal, dann heißt das Koordinatensystem kartesisch.
Die folgende Abbildung zeigt ein ebenes und ein räumliches kartesisches Koordinatensystem mit den Einheitsvektoren bzw. .
Anmerkung: Die Einheitsvektoren auf den Koordinatenachsen werden häufig auch mit bezeichnet.



In der Ebene ist jedem Punkt P eineindeutig der Ortsvektor , im Raum der Ortsvektor zugeordnet (wobei mit die Einheitsvektoren bezeichnet werden); x und y bzw. x, y und z sind die Koordinaten des Punktes P.

Anmerkung: Die Forderung nach äquidistanter Skalierung kann aus Zweckmäßigkeitsgründen entfallen wie z.B. in der Kristallografie oder bei der Darstellung exponentieller Wachstumsprozesse.