Die Kettenregel der Differenzialrechnung besagt das Folgende:
- Es sei die Funktion u (Definitionsbereich
)
an der Stelle 
und die Funktion v (Definitionsbereich 
mit 
)
an der Stelle 
differenzierbar.
Dann ist auch die verkettete Funktion
in
differenzierbar und es gilt 
Mit anderen Worten: Die Ableitung einer verketteten Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitungen von äußerer und innerer Funktion an der jeweiligen Stelle.
Wir bilden den Differenzenquotienten von f und erweitern diesen mit
:
Mit
erhält man für den Grenzwert
des Differenzenquotienten:
Da
in
differenzierbar ist, gilt 
.
Da aus der Differenzierbarkeit an einer Stelle die Stetigkeit folgt, ist
dann
auch stetig in ,
d.h., es gilt 
bzw. 
Mit anderen Worten: Bei der Grenzwertbildung zu
kann 
durch 
ersetzt werden. Da nach Voraussetzung v an der Stelle 
differenzierbar ist, gilt also:
Damit ist aber:
Für die Anwendung der Kettenregel ist eine auf der Schreibweise
anstelle
von 
beruhende Notation sehr einprägsam:
- Ist
und 
,
dann gilt:
wobei
die Ableitung der inneren Funktion und 
die
Ableitung der äußeren Funktion ist.
- Beispiel: Es ist die Ableitung
der Funktion
nach der Kettenregel zu bilden.
In diesem Falle ist 
und demzufolge 
sowie 
.
Dann gilt:
Bei komplizierteren Termstrukturen wie etwa in 
ist die Verwendung eines CAS vorteilhaft (s. Bild 1 und interaktives Rechenbeispiel).
Die Kettenregel ist auch auf mehrfach
verkettete Funktionen anwendbar. Es gilt dann sinngemäß:
- Ist f eine über den Definitionsbereich differenzierbare und mehrfach verkettete Funktion, dann gilt:
Als Beispiel sei die Funktion mit
der Gleichung 
betrachtet. Diese lässt sich zu 
vereinfachen und hat demzufolge die Ableitung 
.
Würde man obige Regel anwenden, dann ergäbe sich mit den Einzelfunktionen
sowie
als
deren Ableitungen:
