Komplanarität
von Punkten
Punkte bezeichnet man als komplanar,
wenn sie in einer gemeinsamen Ebene liegen.
Drei (verschiedene) Punkte des Raumes liegen stets in einer gemeinsamen
Ebene. Durch sie wird auch eine Ebene eindeutig bestimmt, sofern die Punkte
nicht kollinear sind.
Durch drei kollineare Punkte wird keine Ebene, sondern nur eine Gerade beschrieben.
Für die Prüfung der Komplanarität
von mehr als drei Punkten gibt es mehrere Möglichkeiten, von denen
zwei an einem Beispiel demonstriert werden sollen.
- Es ist zu prüfen, ob die folgenden vier Punkte in einer Ebene
liegen:
Lösungsweg 1 (Überprüfen mittels
Ebenengleichung)
Es wird eine Gleichung für die Ebene durch drei der gegebenen Punkte,
etwa 
,
aufgestellt:
Um zu überprüfen, ob der Punkt 
ebenfalls in 
liegt, setzt man den Ortsvektor von
mit der Gleichung von
gleich:
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
Für 
ist das Gleichungssystem erfüllt, d.h.,
liegt in der Ebene .
Die vier Punkte sind also komplanar.
Lösungsweg 2 (Überprüfen mittels
Spatprodukt)
Die Entscheidung über die Komplanarität der vier Punkte 
kann auch mithilfe des Vektorprodukts bzw.
des Spatprodukts getroffen werden.
Bei Letzterem macht man sich zunutze, dass der Betrag des Spatprodukts
dreier
Vektoren das Volumen des von diesen Vektoren aufgespannten Parallelepipeds
angibt. Liegen die drei Vektoren in einer Ebene, so hat dieses Parallelepiped
das Volumen 0. Daher gilt: Die vier Punkte
des Raumes liegen genau dann in einer Ebene, wenn 
ist.
Das ist für die oben gegebenen Punkte erfüllt, denn es gilt:
Komplanarität von Vektoren
Drei Vektoren, die durch Pfeile ein und derselben Ebene beschrieben werden
können, heißen komplanar,
das heißt:
- Drei Vektoren
sind komplanar, wenn sich einer von
ihnen als Linearkombination
der beiden anderen darstellen lässt, z.B. 
Als Beispiel betrachten wir die folgenden
drei Vektoren:
Es lässt sich die Linearkombination 
bilden, denn es gilt:
Die Vektoren
sind also komplanar.
Werden dagegen die Vektoren 
betrachtet, dann kann kein Paar reeller Zahlen r und s gefunden werden,
für das 
gilt.
Folglich sind 
nicht komplanar.