Koordinatentransformationen

Für einige Probleme erweist es sich als zweckmäßig, den Ursprung des Koordinatensystems zu verschieben oder die Achsen um den Ursprung zu drehen. Dies bzw. eine Kombination aus beiden Bewegungen wird als Koordinatentransformation bezeichnet.
Hierbei sollen folgende Voraussetzungen eingehalten werden:

• Die (Rechts-)Orientierung des Systems bleibt erhalten.
• Die Skalierung des Systems bleibt erhalten.

Parallelverschiebung eines Koordinatensystems
Als Erstes soll eine Parallelverschiebung (Translation) eines räumlichen Koordinatensystems betrachtet werden (Bild 1 bzw. nachstehendes Textbild).



Der Ursprung des neuen Koordinatensystems sei . Zwischen den Koordinaten x, y und z eines Punktes P im gegebenen Koordinatensystem und seinen Koordinaten im neuen System besteht dann der folgende Zusammenhang:

Im Folgenden soll ein Beispiel für die Ebene betrachtet werden.

• Gegeben sei eine kubische Parabel durch .
  Wie ändert sich deren Gleichung, wenn eine Verschiebung des Koordinatenursprungs in den Punkt vorgenommen wird?

Mithilfe der Beziehungen ergibt sich:



Aus dieser Darstellung kann z.B. die Punktsymmetrie des Graphen zum Ursprung bzw. zum Punkt im ursprünglichen Koordinatensystem sofort erkannt werden, da kein Absolutglied und kein Ausdruck mit geradzahligem Exponenten vorhanden ist.

Drehung eines Koordinatensystems um den Koordinatenursprung
Im Folgenden wird die Drehung (Rotation) eines ebenen Koordinatensystems betrachtet. Wird der Ursprung des Koordinatensystems beibehalten, d.h. gilt , und werden nur die Achsen um den Winkel gedreht, dann ergeben sich folgende Transformationsgleichungen (s. Bild 2):

• Beispiel: Gegeben sei der Punkt . Das Koordinatensystem wird um im mathematisch positiven Drehsinn gedreht.

Die neuen Koordinaten ergeben sich wie folgt (s. auch nebenstehendes Textbild): Analoge Überlegungen lassen sich für den dreidimensionalen Fall anstellen.