Kurven in Polarkoordinatendarstellung

Kegelschnitte
Zur Darstellung von Kegelschnitten in Polarkoordinaten werden die Formeln für die Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten und in die Scheitel- bzw. Mittelpunktsgleichungen eingesetzt und diese umgeformt.
Als Beispiel dafür betrachten wir im Folgenden die Parabel mit dem Brennpunkt im Koordinatenursprung mit der folgenden Scheitelgleichung:

Einsetzen der oben angegebenen Formeln für die Umrechung ergibt:

Daraus folgt für die Polargleichung einer Parabel:

Auch hier gilt die Verallgemeinerung für alle Kegelschnitte, und es ist:

Für handelt es sich um einen Kreis, für um eine Ellipse, für um eine Parabel und für um eine Hyperbel.

Spiralen

Archimedische Spirale

Ein Strahl dreht sich mit konstanter Geschwindigkeit um P und bewegt sich gleichzeitig gleichförmig von O weg (z.B. die Laufkatze eines Drehkranes). Die Länge des Strahles ändert sich proportional mit dem Drehwinkel.
Die Gleichung für die archimedische Spirale in Polarkoordinaten lautet:

Parameterdarstellung:

Bild 1 bzw. das folgende Textbild zeigen die Kurve für und
(interaktives Rechenbeispiel)

Hyperbolische Spirale

Bei dieser Spirale ist die Länge des Strahles umgekehrt proportional zum Drehwinkel. Die Gleichung für die hyperbolische Spirale in Polarkoordinaten lautet:

Wegen nähert sich die Spirale asymptotisch dem Ursprung.
Parameterdarstellung:

In Bild 2 ist die hyperbolische Spirale für und dargestellt.

Logarithmische Spirale

Die logarithmische Spirale wird durch die Polargleichung beschrieben.
Für nähert sich die Spirale beliebig dem Ursprung und für geht auch
Parameterdarstellung:

In Bild 3 ist die Kurve für und dargestellt.

Schraubenkurve

Auf der Oberfläche eines rotierenden geraden Kreiszylinders bewegt sich ein Punkt mit konstanter Geschwindigkeit in z-Richtung (s. nebenstehendes Bild):

Cassinische Kurven
Cassinische Kurven (benannt nach GIOVANNI DOMENICO CASSINI, 1625 bis 1712) sind definiert als der geometrische Ort aller Punkte P, für die das Produkt der Abstände der Brennpunkte vom Mittelpunkt M einen konstanten Wert besitzt. Der Abstand von sei 2c. Das Verhältnis von a und c ist für die Gestalt der Kurve von Bedeutung.