Die Aufgabe von
Fluglotsen ist es, die Sicherheit des Flugverkehrs zu gewährleisten.
In Deutschland müssen dazu täglich mehr als 6000 Flugzeuge überwacht
und geleitet werden.
Wir wollen an dieser Stelle zu diesem Sachverhalt eine etwas einfachere
Aufgabe betrachten:
- Von zwei Flugzeugen sind die aktuelle Position, Kurs und Geschwindigkeit bekannt. Wie können wir prüfen, ob unter Beibehaltung von Kurs und Geschwindigkeit die Gefahr einer Kollision besteht?
Der aktuelle Ort eines Flugzeuges lässt sich durch Koordinaten in
einem geeigneten Koordinatensystem, die Momentangeschwindigkeit durch
einen entsprechenden Vektor beschreiben. Wir wollen hier auf eine Diskussion
möglicherweise geeigneter Koordinatensysteme verzichten und stellen
uns auf den Standpunkt, dass die in der Flugsicherung tatsächlich
verwendeten Koordinaten letztendlich auch in das uns vertraute orthonormierte
mit
passenden Längeneinheiten und einer der Problemstellung angemessenen
Lage der Koordinatenachsen umgerechnet werden können.
In einem derartigen Koordinatensystem
wollen wir die aktuellen Positionen der Flugzeuge durch die Punkte P und
Q darstellen; 
seien dann die entsprechenden Ortsvektoren. Betrag und Richtung der Geschwindigkeiten
können durch die Vektoren 
aus dem Vektorraum 
modelliert werden (der Betrag des Vektors 
entspreche also einem Vielfachen des Betrages der Geschwindigkeit des
ersten Flugzeugs, dessen Flugrichtung werde durch die Richtung
erfasst).
Die beiden Flugzeuge bewegen sich dann auf Geraden mit folgenden Gleichungen:
Anmerkung: In der Zeiteinheit 
bewegt sich das Flugzeug 
also um den Vektor ,
Entsprechendes gilt für das zweite Flugzeug 
Darüber hinaus erscheint für unsere Modellierung
die Einschränkung 
sinnvoll, die im Weiteren berücksichtigt wird.
- Beispiel:
Das erste Flugzeug befinde sich im Punkt
seine Geschwindigkeit lasse sich durch den Vektor 
beschreiben. Das zweite Flugzeug befinde sich entsprechend in 
und bewege sich mit 
Für die "Bewegungsgeraden" ergibt sich also:
Als ersten Lösungsschritt wollen wir überlegen, wie (diese)
zwei Geraden g und h zueinander liegen können und wie diese Lagebeziehung
durch die die Geraden beschreibenden Ortsvektoren
sowie die Richtungsvektoren
bestimmt wird.
Aus der Anschauung ergeben sich die folgenden Lagemöglichkeiten:
- Die beiden Geraden sind identisch.
Dies bedeutet insbesondere, dass der Punkt P auch auf h, der Punkt Q auch auf g liegt und die beiden Richtungsvektoren
Vielfache voneinander sind. - Die beiden Geraden sind zueinander parallel, aber nicht identisch (man sagt auch,
die Geraden g und h sind echt parallel).
Dafür müssen offenbar die Richtungsvektoren der Geraden g und h Vielfache voneinander sein, der Punkt P darf allerdings nicht auf h liegen. - Die beiden Geraden haben genau einen Punkt gemeinsam (man sagt auch,
die Geraden g und h schneiden einander).
Für diesen Fall dürfen die Richtungsvektoren der beiden Geraden offenbar keine Vielfachen voneinander sein. Außerdem gibt es genau einen Vektor
der beide Gleichungen 
erfüllt; den Ortsvektor zum Schnittpunkt S der Geraden g und h. - Die beiden Geraden sind weder parallel noch schneiden sie einander (man
sagt auch, die Geraden g und h sind zueinander windschief
).
Anschaulich ist klar, dass die beiden Geraden dann nicht in einer Ebene liegen können. Für diesen Fall dürfen die Richtungsvektoren der beiden Geraden keine Vielfachen voneinander sein und es gibt eben keinen Vektor
der beide Gleichungen
erfüllt.
Die folgende Übersicht fasst die notwendige Lageuntersuchung
für zwei Geraden im Raum zusammen.
Es sei:
Anmerkung: Für den allgemeinen Fall wurde
t in
durch zwei verschiedene reelle Parameter ersetzt.
Nach diesem Schema wollen wir die Lagebeziehung der "Bewegungsgeraden"
g und h der beiden Flugzeuge aus dem obigen Beispiel
untersuchen.
Dazu beginnen wir mit einem Test auf Parallelität
der Richtungsvektoren:
Gibt es also eine reelle Zahl k mit 
Aus der dritten Zeile folgt offenbar 
Damit ergeben sich für die ersten beiden Zeilen falsche Aussagen.
Die Geraden g und h sind also nicht zueinander parallel.
Durch Gleichsetzen der Geradengleichungen
erhalten wir:
Die Gleichungen 
führen auf 
Damit ergibt sich ein Widerspruch zur Gleichung 
Die Geraden g und h sind also zueinander windschief.
Anmerkung: Zu untersuchen wäre allerdings
noch, ob eine Kollision der beiden Flugzeuge damit tatsächlich ausgeschlossen
ist?