Zwei Kugeln im
Raum können – abgesehen von dem Fall, dass beide Kugeln identisch sind
– verschiedene Positionen zueinander einnehmen.
Diese in obigem Textbild bzw. in Bild 1 dargestellten Fälle lassen
sich noch komprimieren:
- Fall 1: Beide Kugeln haben keinen gemeinsamen Punkt (a und e).
- Fall 2: Beide Kugeln haben genau einen gemeinsamen Punkt (b und d).
- Fall 3: Beide Kugeln haben unendlich viele Punkte gemeinsam, die zu einem Kreis gehören, dem Schnittkreis der beiden Kugeln (c).
Entscheidend für die Anzahl der gemeinsamen Punkte ist der Abstand
d der Mittelpunkte der beiden Kugeln:
– Wenn 
ist, dann liegt der Fall 2 vor.
– Wenn 
bzw. 
gilt, dann liegt der Fall 1 vor.
– Wenn 
bzw. 
gilt, dann liegt der Fall 3 vor.
Daher beginnt man die Untersuchung der Lagebeziehung zweier Kugeln mit
dem Vergleich der Streckenlänge von 
mit 
bzw. 
.
Berechnen des Berührungspunktes zweier
Kugeln
Liegt Fall 2 vor, ermittelt man den gemeinsamen
Berührungspunkt,
indem man die Gleichung der Geraden g durch 
aufstellt und durch Einsetzen in eine der beiden Kugelgleichungen zunächst
den Parameterwert und daraus dann die Koordinaten des Berührungspunktes
erhält.
- Beispiel 1:
Gerade g, auf der beide Mittelpunkte liegen:
Einsetzen in die Gleichung von 
ergibt:
Die Lösung 
scheidet aus, da der Berührungspunkt in diesem Fall nicht zwischen
liegen
würde. Damit ergibt sich 
,
und die Koordinaten des Berührungspunktes lauten:
Berechnen des Schnittkreises zweier Kugeln
Liegt Fall 3 vor, kann man zunächst die
gemeinsame Schnittebene aus der Differenz der beiden Kugelgleichungen
ermitteln, dann den Mittelpunkt des
Schnittkreises
als Durchstoßpunkt der Geraden durch
mit der Schnittebene bestimmen und Radius
des Schnittkreises durch Anwenden des Satzes des PYTHAGORAS berechnen.
Es sei 
der Mittelpunkt des Schnittkreises, d der Abstand der Mittelpunkte ,
der
Abstand des Mittelpunktes 
,
der
Abstand des Mittelpunktes 
.
Es gelten also folgende Gleichungen:
Für die Radien ergibt sich:
Durch Umstellen folgt:
- Beispiel 2:
Die Kreisgleichungen lauten:
Jeder Punkt 
,
der sowohl zu
als auch zu 
gehört, muss auch die Gleichung erfüllen, die sich als Differenz
der zu 
gehörenden Gleichungen ergibt. Diese lautet:
Schnittebene 
:
Die Gerade 
,
welche die Mittelpunkte
verbindet, ist durch die folgende Punktrichtungsgleichung gegeben:
Durch Einsetzen von 
in die Gleichung der Ebene
erhält man:
Mittelpunkt des Schnittkreises: 
Radius des Schnittkreises 
:
Damit hat der Schnittkreis beider Kugeln den Mittelpunkt
und den Radius 
und liegt in der Ebene .
Falls sich zwei Kugeln
in genau einem Punkt berühren, dann gibt es für beide Kugeln
in diesem Berührungspunkt eine gemeinsame Tangentialebene. Diese
Tangentialebene kann von besonderem Interesse sein, z.B. beim Billardspiel.
Wenn beim Billardspiel zwei Kugeln aneinanderstoßen, wird die angestoßene
Kugel senkrecht zur gemeinsamen Tangentialebene beschleunigt.
- Beispiel 3:
Die Kugelgleichungen lauten:
Gleichung der Schnittebene :
Schnittpunkt von 
:
Mittelpunkt des Schnittkreises: 
