Vektoren, linear unabhängige

Es seien Vektoren eines Vektorraumes V (mit als dem Nullvektor).

• Die Vektoren heißen genau dann linear unabhängig, wenn die Gleichung nur für erfüllt ist.
  Anderenfalls heißen die Vektoren linear abhängig.

• Der Vektor (aus V) wird als Linearkombination der Vektoren bezeichnet, wenn es reelle Zahlen gibt, für die gilt:
  

Unter Verwendung des Begriffes Linearkombination lässt sich nun äquivalent formulieren:

• Die Vektoren heißen linear unabhängig, wenn sich kein Vektor von ihnen als Linearkombination aus den übrigen darstellen lässt.

Wir betrachten dazu im Folgenden zwei Beispiele.

• Beispiel 1: Es ist zu prüfen, ob die beiden Vektoren linear abhängig oder unabhängig sind.

Wir gehen von folgender Gleichung aus:



Das sich hieraus ergebende homogene lineare Gleichungssystem
besitzt neben der trivialen Lösung noch als Lösung.
Damit gilt , d.h., die beiden Vektoren sind linear abhängig.

• Beispiel 2: Es ist zu prüfen, ob die drei Vektoren linear abhängig oder unabhängig sind.

Die Vektorgleichung

führt zu folgendem Gleichungssystem:

Dieses hat nur die triviale Lösung .
Damit sind die Vektoren voneinander unabhängig.