Eine
Abbildung f vom Vektorraum 
in den Vektorraum 
heißt genau dann linear, wenn für
alle 
und
die folgenden
Linearitätseigenschaften
gelten:
Als Beispiele
linearer Abbildungen seien hier genannt:
- die Matrix-Vektor-Produkte
mit
- die Bildung der Ableitungen
differenzierbarer Funktionen f und g mit
Von den linearen Funktionen
der Analysis 
besitzen die oben genannten Linearitätseigenschaften nur die, bei
denen 
ist, also die Funktionen, deren Graph eine Ursprungsgerade ist.
Bei der Funktion 
hingegen wäre 
aber 
Matrixschreibweise
Eine lineare Abbildung eines Raumes 
in einen Raum 
mit 
kann als Matrix geschrieben werden.
- Beispiel: f
sei eine lineare Abbildung von
Der Vektor 
wird als Linearkombination der Basisvektoren 
geschrieben. Damit gilt 
Da f eine lineare Abbildung ist, gilt:
Die Bilder der Basisvektoren 
sind Vektoren des 
mit
Damit gilt:
