Gegeben sei ein
lineares Gleichungssystems mit den n Variablen 
der folgenden Form:
Für die Lösung gibt es drei Möglichkeiten:
- Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, d.h., es besitzt genau einen Lösungsvektor.
- Das Gleichungssystem ist mehrdeutig lösbar, d.h., der Lösungsvektor ist parameterbehaftet.
- Das Gleichungssystem ist unlösbar.
Indikatoren
für die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme sind der Rang
der Matrix A (Koeffizientenmatrix),
der Rang der um den Vektor der Absolutglieder erweiterten Matrix 
(erweiterte
Koeffizientenmatrix) und die Anzahl
der Variablen n.
Im Folgenden untersuchen wir die Lösbarkeit inhomogener
linearer Gleichungssysteme.
- Satz 1: Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem besitzt genau dann eine eindeutige Lösung, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix und gleich der Anzahl der Variablen ist.
- Beispiel 1: Es ist das folgende
lineare Gleichungssystem zu lösen:
Koeffizientenmatrix und erweiterte Koeffizientenmatrix dieses Gleichungssystems
mit drei Variablen 
haben folgende Gestalt:
Umformen ergibt:
Es gilt 
Folglich ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, und der Lösungsvektor
lautet:
(Siehe auch interaktives Rechenbeispiel 1.)
- Satz 2: Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem besitzt genau dann unendlich viele Lösungen, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix und kleiner als die Anzahl der Variablen ist.
- Beispiel 2:
Koeffizientenmatrix und erweiterte Koeffizientenmatrix dieses Gleichungssystems
mit drei Variablen
haben folgende Gestalt:
Umformen ergibt:
Es ist 
Somit ist das Gleichungssystem mehrdeutig lösbar mit folgendem Lösungsvektor:
(Siehe auch interaktives Rechenbeispiel 2.)
- Satz 3: Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem besitzt genau dann keine Lösung, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix kleiner als der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist.
- Beispiel 3:
Koeffizientenmatrix und erweiterte Koeffizientenmatrix dieses Gleichungssystems
mit drei Variablen
haben folgende Gestalt:
Für den Rang dieser Matrizen erhält man nach Umformen:
Folglich ist das Gleichungssystem unlösbar.
(Siehe auch interaktives Rechenbeispiel 3.)