Eine Gleichung
nennt man Exponentialgleichung,
wenn mindestens ein freie Variable (Unbekannte) als Exponent auftritt.
Als Beispiele betrachten wir die folgenden:
Tritt die Unbekannte nur als Exponent auf, so
spricht man von einer reinen Exponentialgleichung
(Beispiele 1, 2 und 3).
Lösen
durch Exponentenvergleich
Wenn eine reine Exponentialgleichungen zu lösen ist, bei der nur
eine Basis der Exponenten auftritt oder unterschiedliche Basen auf die
gleiche zurückgeführt werden können, kann man die Potenzgesetze
anwenden und die Unbekannte durch einen Vergleich der Exponenten ermitteln.
In obigen Beispielen 1 und 2 ist dies der Fall.
- Beispiel 1:
Wegen 
ist die zu lösende Gleichung äquivalent zu 
und nach den Potenzgesetzen zu 
Die beiden Exponenten müssen gleich sein, also gilt:
Die Probe bestätigt diese Lösung,
denn es ist:
- Beispiel 2:
Auch hier lassen sich wegen 
gleiche Basen herstellen. Damit ist die Ausgangsgleichung äquivalent
zu:
Der Exponentenvergleich liefert 
und damit die quadratische Gleichung 
Nach der Lösungsformel erhält man 
Die Probe für 
liefert:
Für 
ergibt sich:
Die Probe bestätigt also die Richtigkeit beider Lösungen.
Lösen durch
Logarithmieren
In Beispiel 3 wäre es schwierig, gleiche
Basen für die vorhandenen Exponenten herzustellen. Derartige Exponentialgleichungen
(natürlich auch solche, wie die vorangehenden) lassen sich lösen,
indem man beide Seiten logarithmiert und dann die Logarithmengesetze anwendet.
Dabei kann man als Basis der Logarithmen jede beliebige positive Zahl
a 
wählen.
Da die dekadischen und die natürlichen Logarithmen, also die Logarithmen
zu den Basen 10 und e tabelliert vorliegen bzw. mit einem Taschenrechner
leicht zu ermitteln sind, wird man im Allgemeinen eine dieser Basen wählen.
- Beispiel 3:
Logarithmieren ergibt:
Rechnet man mit rationalen Näherungswerten erhält man 
und 
Damit ergibt sich die quadratische Gleichung 
Nach der Lösungsformel erhält man als rationale Näherungswerte:
Die Probe für
liefert:
Für
erhält man:
Die Probe, bei der mit rationalen Näherungswerten unter Verwendung
eines Taschenrechners gerechnet wurde, scheint die Richtigkeit beider
Lösungen zu bestätigen. Die geringfügigen Abweichungen
dürften aus Rundungsfehlern resultieren. Absolute Sicherheit ist
allerdings im Unterschied zum vorangehenden Beispiel nicht gegeben. Um
diese zu erreichen, müssten umfangreiche Genauigkeitsbetrachtungen
zu den durchgeführten Rechnungen angestellt oder es dürfte nicht
mit Näherungswerten gerechnet werden.
Grafisches Lösen
Wenn keine reinen Exponentialgleichungen zu lösen sind, bietet sich
unter Umständen ein grafisches
Lösen an. Ein solcher Fall liegt im eingangs genannten Beispiel
4 vor.
- Beispiel 4:
Aus
erhält man durch Umformen 
Nimmt man nun die zugehörigen Funktionen 
und 
so ist das Lösen der Gleichung gleichbedeutend mit der Ermittlung
der Abszissen der Schnittpunkte der beiden Funktionsbilder. |
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In nebenstehender Abbildung
sind beide Funktionsbilder dargestellt. Daraus kann man die Werte
ablesen. |
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Die Probe für
liefert:
Für
ergibt sich:
In Anbetracht der relativ geringen Genauigkeit des grafischen Lösens
kann man diese Probe als Bestätigung der Lösungen anerkennen.
Will man bei derartigen Gleichungen eine höhere Genauigkeit der Lösungen
erzielen oder liegen Exponentialgleichungen vor, die sich auch grafisch
nicht lösen lassen, kann man Näherungsverfahren verwenden oder
grafikfähige Taschenrechner nutzen (s. interaktives Beispiel 1).