Eine Gleichung,
deren Variable als Vektoren geschrieben werden können, bezeichnet man
als Vektorgleichung.
Beim Lösen von Vektorgleichungen wird die Definition der Gleichheit
von Vektoren zugrunde gelegt:
Damit kann die Vektorgleichung in ein lineares
Gleichungssystem mit den Komponenten der Vektoren umgewandelt werden
(Prinzip
des Koordinatenvergleichs).
Im Folgenden werden zwei Beispiele für das Lösen von Vektorgleichungen
zur Ermittlung von Lagebeziehungen
geometrischer Objekte gegeben.
- Beispiel 1: Es ist die Lagebeziehung
der folgenden Geraden
zu überprüfen:
Gleichsetzen ergibt:
Das führt auf das folgende Gleichungssystem:
Dieses lineare Gleichungssystem ist eindeutig lösbar für 
Einsetzen von r bzw. s in die Geradengleichungen von 
liefert die Koordinaten des Schnittpunktes
S:
- Beispiel 2: Es ist die Lagebeziehung
der folgenden Ebenen
zu überprüfen:
Gleichsetzen ergibt:
Daraus resultiert das folgende Gleichungssystem:
Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen
und vier Variablen, das mehrdeutig lösbar oder unlösbar sein
kann.
Im vorliegenden Beispiel ist 
frei wählbar. Wir erhalten 
Einsetzen dieser Werte in die Ebenengleichungen liefert die vektorielle
Gleichung für die Schnittgerade:
