Die Gleichung 
ist die allgemeine Form einer linearen inhomogenen Differenzialgleichung
1. Ordnung.
Mit Variation der Konstanten wird
eine Methode zum Integrieren dieser Gleichung bezeichnet. Die Vorgehensweise
besteht darin, zuerst die zugehörige homogene Differenzialgleichung
zu lösen, d.h., das Glied g(x) zu vernachlässigen. In diese
Lösung geht ein freier Parameter c ein. Der Parameter c wird dann
als Funktion von x betrachtet und so bestimmt, dass die so modifizierte
Lösung der linearen homogenen Differenzialgleichung der inhomogenen
genügt.
Bei der folgenden Lösung
der Differenzialgleichung wird die Existenz der Lösung in einem
Bereich der xy-Ebene vorausgesetzt.
Zur Berechnung des Integrals von
löst man zuerst 
.
Das ist eine Differenzialgleichung mit getrennten Variablen.
Also folgt 
und nach Integration 
Für c = c(x) ergibt sich nach Differenziation
Einsetzen von y und 
in die inhomogene Differenzialgleichung ergibt 
Da sich hier zwei Summanden aufheben, folgt:
Damit lautet das allgemeine Integral 
Für das Integral durch den Punkt 
muss gelten
also
woraus sich die allgemeine Lösung
des Anfangswertproblems ergibt:
Beispiel
Das Integral von 
soll berechnet werden.
Es ist:
Für c = c(x) folgt 
Einsetzen von y und
eingesetzt ergibt nach dem Zusammenfassen
