Die Vorgänge
in einem elektromagnetischen Schwingkreis (Bild
1) sollen mit verschiedenen mathematischen Hilfsmitteln untersucht
werden. Dabei bezeichnen wir veränderliche Ströme und Ladungen
mit kleinen Buchstaben, also mit i und q. Im Unterschied dazu wird die imaginäre
Einheit mit j bezeichnet, also 
.
Ausgangspunkt muss natürlich die Physik sein. Für die Energie
im elektrischen Feld eines Kondensators bzw. für die Energie
im magnetischen Feld einer Spule gilt
bzw.
Die Summe beider wäre konstant, wenn der Stromkreis keinerlei ohmsche
Widerstände enthalten würde. Die Rechnung verliefe dann analog
der folgenden, wäre aber wesentlich einfacher.
Im Realfall wird die Abnahme der Summe dieser Energien in Joulesche Wärme
umgewandelt.
Es gilt die Differenzialgleichung:
Unter der Berücksichtigung der Beziehung 
(Änderung der Ladung q ist die Stromstärke i) und Division durch
i ergibt sich:
Diese Differenzialgleichung wäre neben dem Energiesatz ein weiterer
möglicher Ausgangspunkt unserer Rechnung. Es ist der kirchhoffsche
Maschensatz, nach welchem die Spannungssumme in einer Masche gleich der
eingeprägten Spannung ist.
Die letzte Differenzialgleichung soll nun gelöst werden, d.h., wir
suchen den zeitlichen Verlauf i(t).
Bei dieser Rechnung kann man die Physik vorübergehend vernachlässigen.
Wir verlassen uns darauf, dass die Mathematik die Prozesse in der Natur
adäquat widerspiegelt. Anschließend ist dann jedoch das Ergebnis
physikalisch zu interpretieren.
Da die Gleichung außerdem noch die zeitlich veränderliche Größe
q enthält, differenzieren wir nochmals nach der Zeit und erhalten:
Damit sind nur noch die Variablen t und i enthalten.
Wir versuchen, die Gleichung mit dem Ansatz 
zu lösen, vermuten also eine gedämpfte Schwingung. Durch Einsetzen
des Ansatzes in die Gleichung prüfen wir, ob das tatsächlich
eine Lösung ist und welchen Wert die Größen 
und 
haben. Wir haben die Ansatzgleichung zweimal zu differenzieren und in
die Differenzialgleichung einzusetzen. Das ergibt
Physikalisch sinnvoll ist nur das Nullsetzen des Klammerausdruckes. Dieser
muss identisch verschwinden, d.h. für alle t. Das ist nur der Fall,
wenn die cos- und sin-Terme getrennt verschwinden. Das führt auf
zwei Gleichungen:
Gleichung (2) liefert sofort 
.
Setzt man das in (1) ein, erhält man 
.
ist
die Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung (R = 0).
Für kleine Dämpfung (
)
ist der Wurzelausdruck reell, es entsteht eine gedämpfte Schwingung:
Für stärkere Dämpfung kommt keine Schwingung zustande.
Die Stromstärke fällt dann exponentiell ("Kriechfall"):
Unser Ansatz hat also mit einigem Aufwand zu einer Lösung geführt.
Der schnellere Lösungsweg
Ein einfacherer Weg zur Lösung der Differenzialgleichung ist möglich,
wenn das Rechnen
mit komplexen Zahlen genutzt werden kann.
Der Ansatz zur Lösung ist dann 
.
Gesucht ist 
,
es kann auch komplex sein. Differenzieren und Einsetzen in die Differenzialgleichung
führt viel schneller als oben zur Gleichung 
mit der Lösung
.
Für starke Dämpfung nimmt man den ersten Ausdruck und erhält
den Kriechfall wie oben. Für kleine Dämpfung nutzt man die eulersche
Gleichung 
,
nimmt den Realteil und erhält obige Gleichung für die gedämpfte
Schwingung.