Betrachtet man
reale Vorgänge mit einem zufälligen Ergebnis (etwa die Lebensdauer
eines technischen Gerätes) genauer, so kann man vielfach feststellen,
dass dieser zufällige Vorgang das Ergebnis einer Vielzahl von zufälligen
Teilvorgängen ist, die neben- und nacheinander ablaufen und sich obendrein
auch noch gegenseitig beeinflussen können.
Um einen solchen komplexen zufälligen Gesamtvorgang zu untersuchen,
wird man bemüht sein, die spezifische innere Struktur seiner Teilvorgänge
zu analysieren. Eine spezielle derartige Struktur ist ein mehrstufiges
Zufallsexperiment.
- Definition: Besteht ein zufälliger
Vorgang aus mehreren, nacheinander ablaufenden Teilvorgängen (oder
aus Teilvorgängen, die als nacheinander ablaufend interpretiert
werden können), so spricht man von einem mehrstufigen
Zufallsexperiment, bei k Teilvorgängen
von einem k-stufigen Zufallsexperiment.
Um ein solches mehrstufiges Zufallsexperiment untersuchen zu können,
muss man es zuerst mathematisch beschreiben - oder man kann auch
sagen: mathematisch modellieren. Das
erfordert insbesondere, die dazugehörige Ergebnismenge
und
die Wahrscheinlichkeitsverteilung P
anzugeben, wobei beide wesentlich vom konkreten Bedingungsgefüge
und dem Beobachtungsziel des Zufallsexperiments abhängen.
Wir wollen dazu ein einfaches, überschaubares Beispiel in fünf Varianten betrachten.
- Axel und Bernd sind aktive Tischtennisspieler. Da sie schon oft gegeneinander
gespielt haben, wissen sie aus Erfahrung, dass Axel unter "normalen
Umständen" einen Satz mit der Wahrscheinlichkeit
gewinnt und Bernd demzufolge mit der Wahrscheinlichkeit 
.
(Beim Tischtennis wird ein Satz immer bis zur Entscheidung gespielt, ein Remis gibt es nicht.)
Anmerkung: A soll im Folgenden abkürzend verwendet werden, wenn Axel einen Satz gewinnt, und B, wenn dies bei Bernd der Fall ist.
- Variante 1
Aus Vergnügen spielen Axel und Bernd in ihrer Freizeit oftmals
einfach fünf Sätze hintereinander. Nach jedem Satz registrieren
sie, wer von beiden gewonnen hat. Da sie gut durchtrainiert sind, kann
man davon ausgehen, dass jeder Satz im Prinzip unter gleichen Bedingungen
und unabhängig vom Ergebnis des vorangegangenen ausgetragen wird.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl der
Gewinnsätze von Axel.
Das Tischtennisspiel von Axel und Bernd kann als ein fünfstufiges
Zufallsexperiment aufgefasst werden. Dessen Ergebnisse lassen sich durch
5-Tupel beschreiben, etwa 
oder 
,
d.h., es ist:
Anmerkung: Generell können die Ergebnisse
eines k-stufigen Zufallsexperiments durch k-Tupel beschrieben werden.
Da die einzelnen Sätze unter gleichen Bedingungen, unabhängig
voneinander gespielt werden, kann dieses 5-stufige Zufallsexperiment durch
eine BERNOULLI-Kette modelliert
werden, sodass die Anzahl der Gewinnsätze von Axel binomialverteilt
ist mit 
und .
- Variante 2
Für heute vereinbaren Axel und Bernd, wie im Wettkampf üblich,
auf drei Gewinnsätze zu spielen, d.h., das Match hat derjenige gewonnen,
der zuerst drei Sätze für sich entscheiden konnte.
Ein wichtiges Hilfsmittel zum Erfassen der Struktur eines mehrstufigen
Zufallsexperiments ist das Baumdiagramm.
Für diese Spielvariante hat es die in Bild 1 dargestellte Gestalt.
Es liegt also erneut ein 5-stufiges Zufallsexperiment vor. Die Tupel,
durch die die Ergebnisse des Zufallsexperiments beschrieben werden, haben
allerdings eine unterschiedliche Länge, da es für einen Matchgewinn
nicht immer erforderlich ist, fünf Sätze auszutragen.
Aus dem Baumdiagramm kann die Ergebnismenge
unmittelbar abgelesen werden:
Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten lassen sich mithilfe der Pfadregeln
ebenfalls dem Baumdiagramm entnehmen.
- Variante 3
Axel und Bernd treffen im Rahmen eines offiziellen Wettkampfes aufeinander.
Axel kann unter diesen Bedingungen einen Satzverlust nervlich nicht so
leicht verarbeiten, er wird dann zunehmend unsicherer. So beträgt
seine Gewinnwahrscheinlichkeit gegenüber Bernd im Anschluss an genau
einen für ihn verlorenen Satz nur noch 0,5 und im Anschluss an zwei
hintereinander verlorenen Sätzen lediglich 0,4.
Diese Veränderung hat auf die Ergebnismenge
im Vergleich zur Variante 2 keine Auswirkungen,
aber auf den Verlauf des Zufallsexperiments, denn auf jeder Stufe des
Zufallsexperiments hängt der weitere Fortgang vom bisherigen Verlauf
ab, also von bedingten Wahrscheinlichkeiten.
So hatten in der Variante 2 die Pfade 
und 
die gleiche Wahrscheinlichkeit 
.
Jetzt gilt:
- Variante 4
Bernd hat gestern nach Variante 1 keinen
Satz gewonnen. Er schlägt deshalb vor, heute so lange zu spielen,
bis er einen Satz für sich entscheiden kann. "Damit wäre
das Ende unseres heutigen Trainings also unbestimmt. Hoffentlich dauert
es nicht so lange, denn ich muss noch etwas für die Schule machen",
sagt Axel.
Theoretisch muss das so vereinbarte Tischtennisspiel kein Ende finden.
Die dazugehörige Ergebnismenge besteht aus abzählbar unendlich
vielen Elementen und die einzelnen Tupel haben alle eine unterschiedliche
"Länge":
Nimmt man wie in Variante 1 an, dass die einzelnen
Sätze unter gleichen Bedingungen und unabhängig voneinander
ausgetragen werden (was mit zunehmender Spieldauer allerdings immer weniger
realistisch ist), so ist die Anzahl der Sätze bis zum ersten Erfolg
von Bernd geometrisch
verteilt.
- Variante 5
Axel will Bernd etwas aufheitern, denn er schlägt vor, statt des
zweiten und vierten Satzes (nach Variante 1)
jeweils eine Partie Blitzschach zu spielen. Bernd gewinnt nämlich
dabei mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6. Bei Axel beträgt diese
lediglich 0,2. Die Wahrscheinlichkeit für ein Remis liegt bei ihnen
erfahrungsgemäß bei 0,2.
Das Besondere an diesem fünfstufigen Zufallsexperiment besteht im
Baumdiagramm darin, dass auf verschiedenen
Stufen unterschiedliche Ergebnisse möglich sind: Die Ergebnisse und
Wahrscheinlichkeiten der ersten, dritten und fünften Stufe unterscheiden
sich von denen der zweiten und vierten Stufe. Wenn ein Sieg von Axel beim
Schach mit A',
von Bernd mit B'
und ein Remis mit R abgekürzt wird, so erhält man:
