Wir betrachten die Zahlenfolgen, die sich aus den nachstehend dargestellten Vorgängen bzw. Situationen ergeben:
(1) Für die Fahrt mit einem Taxi in A-Stadt sind ein Grundpreis
von 1,50 Euro und für jeden Kilometer zusätzlich 0,60 Euro zu
zahlen.
Der Fahrpreis bei einer Fahrt von 1 km, 2 km, 3 km, ..., 10 km Länge
beträgt demzufolge 2,10 Euro, 2,70 Euro, 3,30 Euro, ..., 7,50 Euro.
(2) Eine Buchhandlung hat 200 Exemplare eines bestimmten Buches auf Lager.
Im Verlaufe einer Woche werden davon am ersten Tag 34 Bücher, am
zweiten Tag 25 Bücher, am dritten und vierten Tag jeweils 11 Bücher,
am fünften Tag kein Buch und am sechsten Tag 4 Bücher verkauft.
Der Lagerbestand an Büchern beträgt im Verlauf der Woche: 200;
166; 141; 130; 119; 119; 115.
(3) Schüler nehmen an zwei Tagen jeweils um 9 Uhr; 12 Uhr, 15 Uhr
und 18 Uhr ein Messung der Lufttemperatur vor. Sie erhalten folgende Werte
(in 
):
7; 18; 19; 12; 9; 19; 20; 17.
Vergleicht man die Zahlenwerte in diesen drei Beispielen, so kann man feststellen, dass in (1) die Glieder der Preisfolge ständig zunehmen (Bild 1), in (2) der Lagerbestand sich von Tag zu Tag verringert oder mindestens gleich bleibt (Bild 2), in (3) jedoch keine solcher Regelmäßigkeiten auftritt (Bild 3).
Dies führt zu folgenden Begriffsbildungen (Definitionen):
- Eine Zahlenfolge
heißt genau dann monoton
wachsend, wenn für alle
gilt:
- Eine Zahlenfolge
heißt genau dann monoton
fallend, wenn für alle
gilt:
Bei monoton wachsenden oder monoton fallenden Folgen können aufeinander
folgende Folgenglieder gleich sein.
Wenn jedes Folgenglied echt größer (kleiner) als sein Vorgänger
ist, so spricht man von streng monoton wachsenden
(fallenden) Folgen.
Konstante Zahlenfolgen wie z.B. 
oder 
sind sowohl monoton wachsend oder als auch monoton fallend, denn mit 
gilt auch 
und
.
- Beispiel 1: Es ist das Monotonieverhalten
der Zahlenfolge
zu untersuchen.
Wir betrachten hierzu die Differenz 
.
Es gilt im vorliegenden Fall:
Der als Resultat erhaltene Bruch ist stets positiv, da Zähler und
Nenner positiv sind.
Wegen 
ist die Folge also streng monoton wachsend.
- Beispiel 2: Die Zahlenfolge
ist auf Monotonie zu untersuchen.
Die Anfangsglieder der Folge lauten 
.
Bereits hieraus kann man entnehmen, dass die Folge wegen 
,
aber 
nicht monoton sein kann - es handelt sich hier (wegen des Vorzeichenwechsels
von Glied zu Glied) um eine alternierende
Zahlenfolge. Die rechnerische Überprüfung ergibt in diesem
Fall:
Diese Differenz ist aber in Abhängigkeit davon, ob n gerade oder
ungerade ist, jeweils negativ oder positiv. Die Folge ist also nicht monoton.
- Eine Zahlenfolge
heißt genau dann nach oben beschränkt,
wenn es eine reelle Zahl
gibt, sodass für alle Folgeglieder 
gilt:
Man nennt die reelle Zahl s dann eine obere Schranke der Zahlenfolge. - Eine Zahlenfolge
heißt genau dann nach unten beschränkt,
wenn es eine reelle Zahl
gibt, sodass für alle Folgeglieder
gilt:
Man nennt die reelle Zahl s dann eine untere Schranke der Zahlenfolge.
Anmerkung: Einfach von "Schranke"
spricht man, wenn 
,
also wenn alle
in dem Intervall 
liegen.
- Eine Zahlenfolge
heißt genau dann beschränkt,
wenn sie eine obere und eine untere Schranke besitzt.
- Beispiel 3: Die Folge
ist auf Beschränktheit zu untersuchen.
Wegen 
kann man vermuten, dass 
eine obere Schranke von
ist. Um dies nachzuweisen, muss man zeigen, dass 
für alle n gilt. Dies trifft zu, denn
(der Zähler ist negativ und der Nenner für alle n positiv).