Funktionseigenschaften, Monotonie

Graphen von Funktionen können in bestimmten Intervallen steigen, fallen oder parallel zur x-Achse verlaufen.
Steigt der Graph, so wachsen die Funktionswerte, d.h., für ist auch . In diesem Fall heißt die Funktion in dem betrachteten Intervall streng monoton wachsend. Ist das nicht nur in einem bestimmten Intervall, sondern im gesamten Definitionsbereich der Fall, so heißt die Funktion streng monoton wachsend.
Gilt dagegen für , dann spricht man von streng monoton fallend.



Für das Monotonieverhalten einer Funktion gilt:

• Eine Funktion f heißt in einem Intervall I ihres Definitionsbereichs genau dann monoton wachsend, wenn für beliebige gilt:
  
  Gilt sogar , so heißt f streng monoton wachsend.
• Eine Funktion f heißt in einem Intervall I ihres Definitionsbereichs genau dann monoton fallend, wenn für beliebige gilt:
  
  Gilt sogar , so heißt f streng monoton fallend.

Die Untersuchung von Funktionen auf Monotonie ist mithilfe der soeben gegebenen Erklärung oft nicht einfach. Ist die Funktion f aber differenzierbar dann liefert der Zusammenhang zwischen der Monotonie von f und den Tangentensteigungen das nachfolgende Kriterium für strenge Monotonie (s. auch folgendes Textbild):
Sei f eine im Intervall I differenzierbare Funktion. Wenn für alle x aus I

• gilt, dann ist f in I streng monoton wachsend;
• gilt, dann ist f in I streng monoton fallend

Wir betrachten im Folgenden einige Beispiele für Monotonieuntersuchungen (interaktives Rechenbeispiel).

• Beispiel 1: Die Funktion ist mithilfe der Definition auf Monotonie zu untersuchen.

Sind mit , dann ist mit . Für den Funktionswert gilt dann:

Für ist , also ist:

Das heißt, f(x) ist streng monoton wachsend über dem gesamten Definitionsbereich (s. auch Bild 1).

• Beispiel 2: Die Funktion ist mithilfe des Monotoniekriteriums auf Monotonie zu untersuchen.

Die 1. Ableitung ist . Die Ungleichung ist für alle erfüllt, d.h., die Funktion ist im gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsend.

• Beispiel 3: Das Montonieverhalten der Funktion ist zu untersuchen.

Auch hier wendet man zweckmäßigerweise das Monotoniekriterium an. Man erhält .
Die Ungleichung ist erfüllt für . Die Ungleichung ist erfüllt für .
Also ist die Funktion f für streng monoton wachsend und für streng monoton fallend (Bild 2).