Neben der Vielfachbildung
von Matrizen, d.h. der Multiplikation einer Matrix mit einer reellen
Zahl (einem Skalar), ist es auch möglich, eine Matrix mit einem Vektor
bzw. zwei Matrizen miteinander zu multiplizieren.
Im Gegensatz zur Vielfachbildung
sind diese Multiplikationen allerdings an bestimmte Voraussetzungen hinsichtlich
des Typs der Matrizen bzw. der Dimension des Vektors gebunden.
Multiplikation
einer Matrix mit einem Vektor
Formale Voraussetzung für die Multiplikation einer Matrix mit einem
(Spalten-)vektor ist, dass die Anzahl der Spalten der Matrix mit der Elementenzahl
(Zeilenanzahl) des Vektors übereinstimmt:
Das Produkt 
ist dann ein Vektor mit m Elementen, die wie folgt gebildet werden (s.
auch interaktives Beispiel 1):
oder kurz
Anmerkung: Jedes Element 
des Vektors 
ist das Skalarprodukt aus dem i-ten Zeilenvektor von A
und dem Spaltenvektor 
- Beispiel 1: Die Matrix
ist mit dem Vektor 
zu multiplizieren.
Die formalen Voraussetzungen sind erfüllt: Die Anzahl der Spalten
von A und die Anzahl der Elemente von
stimmen
überein.
Es ist:
Multiplikation
zweier Matrizen
Das Produkt der 
und der 
kann nur für 
gebildet werden (d.h., die Matrizen müssen verkettet sein). Die Produktmatrix
C hat ist dann vom Typ 
und entsteht durch mehrfache Multiplikation von Matrix und Vektor (s.
interaktives Beispiel 2).
- Beispiel 2: Die Matrix
ist mit der Matrix
zu multiplizieren.
Es ist:
Die Produktmatrix hat also folgende Gestalt:
Eine weitere Möglichkeit des Berechnens der Produktmatrix bietet
die folgende (als falksches
Schema bezeichnete) Darstellung.
- Beispiel 3: Die Matrizen
sind mithilfe des falkschen Schemas zu multiplizieren.
Die Verknüpfbarkeitsbedingungen sind erfüllt. Es gilt 
Das Produkt 
wird nun mit dem obigen Schema berechnet:
Zur Überprüfen der Rechnung kann die Zeilensummenprobe
dienen (s. obiges Bild):
(1) Man bildet 
als Vektor der Zeilensummen von B.
(2) Man berechnet 
(3) Man vergleicht 
mit dem Vektor der Zeilensummen von C.
Die Produktmatrix ergibt sich also als 
Die Matrizenmultiplikation hat folgende Eigenschaften:
- Die Multiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ (Ausnahme z.B. die Multiplikation mit der Einheitsmatrix).
- Bei Erfüllung der Verknüpfbarkeitsbedingungen ist die Multiplikation
assoziativ:
- Bei Erfüllung der Verknüpfbarkeitsbedingungen gelten die
Distributivgesetze:
