Bei der sogenannten
linearen Interpolation wird zum Berechnen
von Funktionswerten das Bild einer Funktion f partiell (d.h. zwischen zwei
Punkten 
)
durch eine Gerade ersetzt. Eine bessere Annäherung an das Bild von
f und damit einer größere Genauigkeit des interpolierten Wertes
erreicht man, wenn man mehr Punkte heranzieht und eine Funktion ermittelt,
deren Bild durch alle diese Punkte geht.
Newtonsches Interpolationsverfahren
In einem Verfahren, das auf ISAAC NEWTON (1643 bis 1727; Bild 1) zurückgeht,
nähert man die Funktion durch eine ganzrationale Funktion, eine sogenannte Polynomfunktion,
von möglichst kleinem Grad an. Dieses newtonsche Interpolationsverfahren
sei im Folgenden dargestellt.
Von der Funktion f mit f(x) seien gegeben (s. Bild 1 bzw. folgendes Textbild)
- die Argumente
,
die sogenannten Stützstellen, - die zugehörigen Funktionswerte
,
die sogenannten Stützwerte.
Es wird vorausgesetzt, dass die Stützstellen (alle) voneinander
verschieden sind, für die Stützwerte ist dies nicht erforderlich.
Das Interpolationspolynom p(x) erhält man durch die folgende newtonsche
Interpolationsformel:
Die Koeffizienten 
kann man dann schrittweise aus folgenden Gleichungen berechnen:
Wir betrachten dazu ein Beispiel.
Gegeben seien die (im untenstehenden Bild dargestellten)
Punkte 
.
Dann gilt (wegen 
):
Die Koeffizienten 
werden nach den oben genannten Verfahren wie folgt berechnet:
Setzt man diese Werte in die Ausgangsformel ein, erhält man nach
einigen Umformungen als Polynomfunktion:
Die Probe zeigt, dass das Bild dieser ganzrationalen Funktion 3. Grades
durch die vier gegebenen Punkte geht.
Lagrangesches Interpolationsverfahren
Ein anderes Verfahren stammt vom französischen Mathematiker JOSEPH
LOUIS LAGRANGE (1736 bis 1813, Bild 2).
Das k-te lagrangesche Polynom n-ten Grades 
ist folgendermaßen definiert:
Als lagrangesches
Interpolationspolynom ergibt sich dann:
- Beispiel: Gegeben seien (wiederum)
die Punkte .
Dann sind zunächst die lagrangeschen Polynome 3. Grades 
zu berechnen, und es ist:
Dann ergibt sich das lagrangesche Interpolationspolynom in der Form
woraus nach Einsetzen und Umformen
folgt. Erwartungsgemäß ist dieses Ergebnis identisch mit dem
des vorangehenden Beispiels.
Ein Vergleich beider Interpolationsverfahren zeigt, dass beim newtonschen Verfahren durch die Hinzunahme einer neuen Stützstelle die bisherigen Rechnungen Gültigkeit behalten während beim lagrangeschen Verfahren die gesamte Rechnung neu begonnen werden muss.
Weitere Interpolationsformeln wurden von den Mathematikern JAMES STIRLING
(1692 bis 1770), PIERRE SIMON LAPLACE (1749 bis 1829), CARL FRIEDRICH
GAUSS (1777 bis 1855) und FRIEDRICH WILHELM BESSEL (1784 bis 1846) entwickelt.
Der Interpolation, bei der es darum geht, eine Funktion zu finden, deren
Bild durch eine vorgegebene Menge von Punkten geht, ist die Ausgleichsrechnung verwandt. Bei dieser ist ebenfalls eine Menge von Punkten (z.B. als Ergebnis
von Messungen) vorgegeben, und es wird eine Funktion (lineare, quadratische,
trigonometrische Funktion bzw. Potenz-, Wurzel, Exponential-, Logarithmusfunktion)
gesucht, die einen den gegebenen Punkten zugrunde liegenden Zusammenhang
möglichst gut widerspiegelt. Im Gegensatz zur Interpolation wird
bei der Ausgleichsrechnung nicht gefordert, dass das Bild der Funktion
durch alle gegebenen Punkte geht. Im Gegenteil, da die Existenz von Messfehlern
angenommen werden muss, geht es darum, die Abweichungen zu minimieren
und auszugleichen sowie Aussagen über die erreichte Genauigkeit zu
treffen.