Nullfolgen

Unter den konvergenten Zahlenfolgen spielen die mit dem Grenzwert 0 eine besondere Rolle. Sie heißen Nullfolgen und sind u.a. für das Berechnen von Grenzwerten beliebiger Zahlenfolgen sowie bei der Begründung der Differenzialrechnung von Bedeutung.

• Die Folge ist eine Nullfolge genau dann, wenn gilt.

Im Folgenden soll für einige Zahlenfolgen nachgewiesen werden, dass sie den Grenzwert 0 haben (Rechenbeispiel).

• Die Folge ist eine Nullfolge.

Beweis: Von einem bestimmten n an (d.h. für fast alle n) muss gelten.

(Wählt man beispielsweise , so muss sein, d.h., alle Glieder der Folge ab haben von 0 einen geringeren Abstand als 0,01, liegen also in der -Umgebung von 0.)

• Jede Folge (k beliebige reelle Zahl) ist eine Nullfolge.
  Der Beweis lässt sich analog dem obigen Beweis (bzw. mithilfe der Grenzwertsätze für Folgen) führen.
  
  
• Jede Folge ist eine Nullfolge.
  Beweis (mithilfe der Grenzwertsätze für Folgen):
  
  
  
• Jede Folge ist eine Nullfolge, wenn gilt.
  Beweis:
  
  
  
• Eine Folge ist eine Nullfolge, wenn die Bildungsgesetze für ganzrationale Funktionen (Polynome) von n sind und der Grad von größer als der Grad von ist.

Beweis: Es sei und mit . Dann gilt:

Alle Glieder werden nun durch dividiert, dies ergibt (unter Nutzung der Grenzwertsätze):

Es ist , und alle anderen Grenzwerte haben unter der Voraussetzung den Wert Null. Damit gilt:

• Jede Folge ist eine Nullfolge, wenn gilt.

Beweis: Von einem bestimmten n an (d.h. für fast alle n) muss gelten .

Ist z.B. und , so gilt:

Alle Glieder der Folge ab haben also von 0 einen geringeren Abstand als 0,01.

• Folgerung: Jede geometrische Folge ist eine Nullfolge.