Nullstellen, ganzrationale Funktionen

Allgemein versteht man unter einer Nullstelle einer Funktion f diejenige Zahl , für die gilt. Nullstellen zu berechnen heißt demnach, alle Lösungen der Gleichung zu ermitteln. Näherungsweise kann man Nullstellen auch grafisch bestimmen. Man zeichnet den Graphen und beim Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse liest man den Abszissenwert als Nullstelle ab.

Bei ganzrationalen Funktionen vom Grad ergeben sich bei der Nullstellenbestimmung Gleichungen, für die man (anders als bei linearen und quadratischen Funktionen) im Allgemeinen keine Lösungsformeln mehr zur Verfügung hat. Für Gleichungen dritten und vierten Grades wurden zwar bereits im 16. Jahrhundert "Lösungsformeln" entwickelt, die jedoch in der Ausführung so kompliziert sind, dass sie praktisch kaum verwendet werden. Für eine Reihe von Problemen lassen sich die Nullstellen mit Näherungsverfahren oder mit einem Computeralgebrasystem bestimmen (interaktives Rechenbeispiel).

Sonderfälle
Für einige Sonderfälle existieren auch spezielle Lösungsverfahren, z.B. Lösen durch Ausklammern.

• Beispiel 1: Die Nullstellen der Funktion sollen ermittelt werden.

Nullsetzen von f(x) ergibt:

Auf der linken Seite kann man x ausklammern:

Ist ein Produkt gleich null, so ist mindestens einer der Faktoren gleich null, d.h., es ist:

Die Lösung der quadratischen Gleichung ergibt:

Ein anderes spezielles Lösungsverfahren ist das Lösen durch Substitution, wenn man es mit so genannten biquadratischen Gleichungen zu tun hat.

• Beispiel 2: Gegeben sei die Funktion , man ermittle die Nullstellen.

Die Gleichung ist zu lösen. Man setzt . Mit dieser Substitution erhält man eine quadratische Gleichung in z:

Diese hat die Lösungen . Nun wird die Substitution rückgängig gemacht, und die Gleichungen werden gelöst. Das führt zu folgenden Nullstellen:

Ein weiteres Lösungsverfahren ist das Lösen durch schrittweises Faktorisieren einer ganzrationalen Funktion mithilfe ihrer Nullstellen. Grundlage dafür ist der folgende Zusammenhang:

• Wenn eine Nullstelle der ganzrationalen Funktion f vom Grad n (mit ), d.h. mit der Form ist, dann gibt es eine Zerlegung der Form . Dabei ist g(x) eine Funktion vom Grad .

Dieser Satz lässt sich folgendermaßen beweisen: Sei eine Nullstelle von f(x). Angenommen durch Polynomdivision erhält man , also mit einem Rest r, der nicht von x abhängt. Lässt man nun die Werte von x gegen streben, dann erhält man . Da nach Voraussetzung eine Nullstelle von f(x) ist, gilt auch auf . Damit ist , d.h., die Polynomdivision ist ohne Rest ausführbar.
Mit g(x) kann man wiederum so verfahren. Bei jedem Schritt verringert sich der Grad des verbleibenden Polynoms jeweils um 1, d.h., es kann höchstens n Linearfaktoren geben. Es gilt also der Satz:

• Eine ganzrationale Funktion vom Grad n (mit ), hat höchstens n Nullstellen.

Lässt sich aus der ganzrationalen Funktion f(x) der Linearfaktor mehrfach, etwa k-fach, ausklammern, so nennt man mehrfache Nullstelle (man nennt k auch die Ordnung der Nullstelle). Dabei lassen sich folgende Fälle unterscheiden:

• 
  ist eine einfache Nullstelle; der Graph der Funktion schneidet an dieser Stelle die x-Achse.
• und k gerade
  ist eine k-fache Nullstelle; der Graph der Funktion berührt die x-Achse (die 1. Ableitung an der Stelle ist gleich null).
• und k ungerade
  ist eine k-fache Nullstelle; der Graph schneidet die x-Achse .

Hat eine ganzrationale Funktion n-ten Grades die Nullstellen , so kann man sie nach dem Nullstellensatz für Polynome, einem fundamentalen Satz der Algebra, folgendermaßen als Produkt aus Linearfaktoren darstellen:

Eine wichtige Hilfe bei der Zerlegung einer ganzrationalen Funktion in ihre Linearfaktoren ist folgender Satz:

• Wenn eine ganzrationale Funktion mit gegeben ist, so ist jede ganzzahlige Nullstelle ein Teiler vom Absolutglied .

• Beispiel 3: Es sind alle Nullstellen der Funktionen f mit
  a)
  b)
  zu bestimmen.

Lösung der Teilaufgabe a):
Der Funktionsterm ist bereits in Linearfaktoren zerlegt. Man liest als Nullstellen sofort ab:

Lösung der Teilaufgabe b):
Die (unmittelbar ablesbaren) Nullstellen sind . Weitere Nullstellen gibt es nicht, da die aus dem dritten Faktor folgende Gleichung keine reelle Lösung besitzt.

• Beispiel 4: Von der Funktion sollen die Nullstellen berechnet werden.

Durch Nullsetzen und Ausklammern erhält man:

Aus folgt die zweifache Nullstelle . Weitere Nullstellen liefert die Gleichung . Als Teiler des Absolutgliedes kommen in Frage. Man überzeugt sich sehr schnell, dass die Bedingung erfüllt. Division durch den Linearfaktor ergibt:

Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind die restlichen Nullstellen, also . Das heißt, die gegebene Funktion hat vier Nullstellen; ihre Zerlegung in Linearfaktoren ist:

• Beispiel 5: Von einer ganzrationalen Funktion vierten Grades kennt man die Nullstellen . Weiter sei . Wie lautet die Funktionsgleichung?

Nach dem Nullstellensatz gilt:

Mit erhält man daraus und somit die folgende Funktion:

• Beispiel 6: Mithilfe eines GTA bzw. CAS ist der Graph der Funktion
  
  darzustellen, und die Nullstellen sind zu bestimmen.
  Die Linearfaktordarstellung der Funktionsgleichung ist anzugeben.

Die Funktion f hat vier Nullstellen, und zwar , obwohl eine ganzrationale Funktion 7. Grades sieben Nullstellen haben könnte. Der Graph der Funktion schneidet die x-Achse bei ; ist eine zweifache Nullstelle, da der Graph der Funktion die x-Achse dort berührt und ist.
Mit ergibt sich folgende Darstellung in Linearfaktoren:

Man kann also durchaus von sieben Nullstellen sprechen: zwei einfachen, einer doppelten und einer dreifachen Nullstelle.

Eine Variation der grafischen Methode (Graph zeichnen, am Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse die Nullstelle ablesen) bringt das nachfolgende Beispiel zum Ausdruck.

• Beispiel 7: Die Nullstellen der Funktion sind zu ermitteln.

Aus folgt , d.h., der Funktionsterm von f ist auf diese Art und Weise geschickt in zwei Terme zerlegt worden, die wiederum Funktionen darstellen und deren Graphen man besonders einfach zeichnen kann (Normalparabel und Gerade). Die x-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen sind die Nullstellen der Ausgangsfunktion, denn nach den vorgenommenen Veränderungen gilt . In diesem Fall liest man als Nullstellen ab (s. Bild 1 bzw. nachstehendes Textbild).

Zusammenfassung
Nullstellen ganzrationaler Funktionen ermittelt man rechnerisch durch

• Anwenden der äquivalenten Umformungsregeln für Gleichungen;
• Verwenden der Lösungsformel für quadratische Gleichungen
• Lösen durch Ausklammern und Substitution;
• Vermuten von Nullstellen durch Auffinden der Teiler des Absolutgliedes und Faktorisieren der Funktion (Polynomdivision; schrittweises Verringern des Funktionsgrades um 1)
• Anwenden von Näherungsverfahren;

bzw. grafisch durch

• Zeichnen des Graphen der Funktion und Ablesen der Nullstellen an den Schnittpunkten des Graphen mit der x-Achse;

• geschicktes Zerlegen des Funktionsterms von f(x) in Funktionsterme g(x) und h(x) mit (die x-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen von g(x) und h(x) sind dann die Nullstellen von f(x)).