gilt. Im Folgenden wird dies exemplarisch an ausgewählten Funktionen
demonstriert (interaktives Rechenbeispiel).
- Beispiel 1: Für die Funktion
sind
der Definitionsbereich und die Nullstellen zu bestimmen.
Da die Wurzel nur aus nichtnegativen Zahlen gezogen werden kann, muss
für den Radikanden gelten:
Da 
gilt, folgt:
Damit gilt für den Definitionsbereich der Funktion f: 
.
Berechnung der Nullstellen ergibt:
Daraus folgt 
und somit 
bzw. 
und damit 
.
Der in Bild 1 bzw. im nachstehenden Textbild dargestellte Graph der Funktion
bestätigt das Ergebnis: Die Funktion hat zwei Nullstellen, und zwar
.
Exponentialfunktionen
Funktionen mit einer Gleichung der Form
heißen Exponentialfunktionen
zur Basis a.
Die Graphen der "reinen" Exponentialfunktionen verlaufen immer
oberhalb der x-Achse (diese Achse ist waagerechte Asymptote), d.h., sie
besitzen keine Nullstellen. Wegen 
für alle a, verlaufen die Graphen alle durch den Punkt 
auf der y-Achse.
Auch bei Funktionen des Typs 
spricht man in weitem Sinne von Exponentialfunktionen (obwohl es sich
eigentlich um eine Verkettung zweier Funktionen
handelt). Funktionen dieses Typs, wie z.B. 
(s.
Bild 2), besitzen ebenfalls keine Nullstellen.
In "nicht reinen" Exponentialfunktionen kann es
Nullstellen geben, wie das folgende Beispiel zeigt.
- Beispiel 2: Die Funktion
ist auf Nullstellen zu untersuchen.
Der Definitionsbereich dieser Funktion ist 
.
Die Funktion ist an der Stelle 
nicht definiert; sie hat an dieser Stelle eine Definitionslücke.
Um mögliche Nullstellen zu ermitteln setzt man ,
d.h.:
Durch Logarithmieren erhält man
und wegen 
demzufolge
Diese Funktion hat also eine Nullstelle bei 
.
Der vollständige Graph ist in Bild 3 bzw. im folgenden Textbild dargestellt.
Logarithmusfunktionen
Logarithmusfunktionen
sind die Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen
bei gleicher Basis, mit einer Gleichung der folgenden Form:
Die Graphen der Logarithmusfunktionen entstehen demnach durch Spiegelung
der Graphen der zugehörigen Exponentialfunktionen an der Geraden
.
Damit ist klar: Alle "reinen" Logarithmusfunktionen besitzen
eine Nullstelle für 
.
In anderen Fällen müssen entsprechende Untersuchungen durchgeführt
werden.
- Beispiel 3: Die Funktion
ist auf Nullstellen zu untersuchen.
Da der Term 
für 
gleich null wird, hat die Funktion an diesen Stellen Definitionslücken,
denn die Logarithmusfunktionen sind für den Wert Null nicht definiert.
Damit ist der Definitionsbereich der Funktion f gleich der Menge der reellen
Zahlen ohne die Zahlen 
,
d.h., es ist 
.
Für die Berechnung der Nullstellen setzt man wieder
und erhält:
Potenziert man beide Seiten dieser Gleichung zur Basis e, so ergibt sich:
Auflösen des absoluten Betrages führt zu
und
Es muss also gelten:
Daraus bestimmt man 
als die vier Nullstellen der Funktion .
Bild 4 sowie das folgende Textbild zeigen den Verlauf des Graphen von
f.
