Viele Differenzialgleichungen – auch solche 1. Ordnung – lassen sich nicht oder nur aufwendig lösen. Deshalb ist es wichtig, neben exakten auch über numerische Lösungsverfahren zu verfügen, die Näherungslösungen für Anfangswertprobleme liefern. Da sich numerische Lösungsverfahren mithilfe von Computern abarbeiten lassen, werden Differenzialgleichungen für einen immer breiteren Interessentenkreis zugänglich.
Die Grundidee der meisten numerischen Lösungsverfahren für Differenzialgleichungen 1. Ordnung besteht im Polygonzugverfahren. Mathematisch beruht es auf dem Übergang von der Differenzialgleichung zu einer entsprechenden Differenzengleichung.
In einer Differenzialgleichung 1. Ordnung
in expliziter Form 
kann man den Differenzialquotienten 
bei hinreichend klein festgelegtem h näherungsweise durch den Differenzenquotienten
ersetzen.
Unter dieser Voraussetzung gilt für 
bzw.
oder kürzer: 
Setzt man hier statt des "ungefähr gleich" ein "ist
gleich", so erhält man eine Gleichung für eine Funktion
, die
eine Näherung für f ist. Es gilt
oder
.
Gleichung (3) ist eine Differenzengleichung.
Sie kann numerisch gelöst werden. Falls es sogar eine lineare
Differenzengleichung ist, lässt sie sich exakt lösen. Die jeweils
erhaltene Funktion 
ist eine Näherungslösung der Differenzialgleichung
(1).
Beispiel
Die Differenzialgleichung 
mit 
und 
soll in eine Differenzengleichung mit 
umgewandelt und eine Näherungslösung der Differenzialgleichung
für die Anfangsbedingung 
angegeben werden.
Aus 
erhält
man 
.
Mit den Transformationen 
entsteht die Differenzengleichung in der Form 
.
Man erhält dafür folgende Wertetabelle:
Die in der Tabelle berechneten Werte bilden eine Näherungslösung
für das hier gestellte Anfangswertproblem.
Diese Näherungslösung ist in Bild 1 grafisch dargestellt.
Die Tatsache, dass eine Lösung der Differenzengleichung
(3) eine Näherungslösung der Differenzialgleichung
(1) ist, soll am Beispiel der linearen Differenzen- und Differenzialgleichungen
belegt werden.
Beispiel
Die Differenzialgleichung 
besitzt folgende Lösung:
. (4)
Dieselbe Differenzialgleichung kann nach obigem Vorgehen auch in die Differenzengleichung
(5)
umgewandelt werden.
Unter Nutzung der Transformationen 
erhält man daraus 
.
Diese Differenzengleichung besitzt die Lösung 
bzw. 
.
Mit 
ergibt sich als Lösung von (5):
(6)
Ist neben der Differenzialgleichung 
auch die Anfangsbedingung 
gegeben, so müssen in den Gleichungen (4) und (6) die Parameter bestimmt
werden.
Für die Parameterwerte 
ergeben sich die Gleichungen
und
.
In Bild 2 sind die Lösung (14) sowie Näherungslösungen
nach (15) mit 
abgebildet. Je kleiner h wird, desto besser stimmt die Näherungslösung
mit der exakten Lösung überein und desto höher ist der
Rechenaufwand.