Im Unterschied
zur Integration einer Summe von Funktionen, für die es eine einfache
Integrationsregel (Summenregel)
gibt, gestaltet sich das Integrieren eines Produktes von Funktionen weitaus
schwieriger.
In einigen Fälle führt die Integration durch Substitution
zum Ziel, doch in vielen Fällen kann man keine geeignete Substitution
angeben.
Eine einfache Umkehrung der Differenziationregel
für Produkte von Funktionen ist nicht möglich, jedoch bietet
diese Regel den Zugang zu einem speziellen Integrationsverfahren:
Für die Ableitung eines Produktes von Funktionen 
gilt:
Integriert man auf beiden Seiten, so folgt nach der Summenregel der Integralrechnung
Somit lässt sich der folgende Satz formulieren:
Sind u und v im Intervall 
differenzierbare Funktionen sowie u' und v' im Intervall stetig ,
so gilt
.
Die auf diesem Satz fußende Integrationsmethode nennt man "partielle
Integration", um anzudeuten,
dass ein Restintegral bleibt, d.h., man integriert nur teilweise – nur
partiell.
Dieses Restintegral ist entweder ein bekanntes Grundintegral
oder es muss weiter evtl. abermals partiell integriert werden.
Beispiele:
a) 
Für diesen Integranden findet sich keine geeignete Substitution.
Wendet man die partielle Integration an, muss man entscheiden, welchen
der beiden Faktoren im Integranden man für u und welchen man für
v´ einsetzt.
Setzt man 
nach obiger Formel:
Hätte man
Das hierbei entstandene Restintegral ist komplizierter als das bei der
ersten Ersetzung. Es ist also wichtig, eine geschickte Zuordnung zu den
Ausdrücken in der Formel vorzunehmen.
b) Für 
erhält man mit 
also 
zunächst
Es wird eine weitere partielle Integration notwendig.
Man setzt 
,
womit insgesamt folgt:
c) 
Man setzt 
Damit ergibt sich:
d) Wir wenden das Verfahren der partiellen Integration auf 
an.
Mit 
ergibt
sich: 
Damit erhält man: 
Unter Verwendung dieses Resultats lassen sich nun schrittweise auch die
folgenden Integrale berechnen:
Ausgehend von diesen Spezialfällen lässt sich folgende Rekursionsformel
herleiten:
(mit 
)