Potenzregel

Die Potenzregel der Differenzialrechnung besagt das Folgende:

• Die Funktion ist differenzierbar und es gilt .

Beweis der Potenzregel
Schreibt man den Differenzenquotienten in der Form , so erhält man für :

Wegen ist die Polynomdivision ausführbar und ergibt:

Daraus erhält man die Ableitung, indem man den Grenzwert für bildet:

• Beispiel 1: Für die Ableitung von ergibt sich nach der Potenzregel:
  

• Beispiel 2: Als Ableitung von erhält man nach Faktor- und Potenzregel:
  

• Beispiel 3: Es ist der Anstieg des Graphen der Funktion an der Stelle zu bestimmen.

Die Ableitung von ist (Potenzregel). Für erhält man . Der Anstieg des Graphen der Funktion im Punkt ist .

Die Potenzregel ist über die natürlichen Zahlen als Exponenten hinaus auch auf Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten n , mit rationalen Exponenten n und sogar mit reellen Exponenten n anwendbar. Man nennt diesen Sachverhalt auch die erweiterte Potenzregel.

• Beispiel 4: Es ist die Ableitung der Funktion zu bestimmen.

Wegen gilt .

• Beispiel 5: An welcher Stelle besitzt der Graph der Funktion die Steigung ?

Aus ergibt sich
Die Gleichung hat die Lösung
Das heißt: Der Graph der Funktion hat an dieser Stelle die Steigung 3.