Proportionalzirkel
und Proportionalwinkel waren vielseitig einsetzbare Rechengeräte des
17. und 18. Jahrhunderts. Berechnungen mit ihnen beruhten auf dem Rechnen
mit Streckenlängen und Streckenverhältnissen.
Obwohl beide klar zu unterscheiden sind, werden die Begriffe Proportionalzirkel
und Proportionalwinkel oft synonym verwendet.
Der Proportionalwinkel
besteht aus zwei flachen Schenkeln, die sich um einen festen Drehpunkt
an einem Ende der Schenkel öffnen oder schließen lassen. Diese
Form geht auf GALILEO GALLILEI (1564 bis 1642) zurück und wird deshalb
auch als galileischer Typ des Proportionalzirkels
bezeichnet (Bild 1).
Eine zweite Form soll auf den Schweizer JOBST BÜRGI (1552 bis 1632)
zurückgehen. Bei diesem sogenannten bürgischen
Typ befindet sich der Drehpunkt zwischen den Schenkelenden; bei
fortgeschrittenen Ausführungen sind zudem Drehpunkt und Schenkellänge
verstellbar (Bild 2).
Da diese Proportionalzirkel
oftmals für maßstabsgerechte Verkleinerungen verwendet wurden,
nannte man sie auch Reduktionszirkel
(compasso di reduzione). Einfache Reduktionszirkel
mit festen Schenkellängen und ohne Rechenskalen gab es schon vor
dem Proportionalzirkel. Sie gestatteten lediglich, Strecken in einem durch
ihre Schenkellängen vorherbestimmten Verhältnis ineinander umzuwandeln.
Je nach Verwendungszweck waren auf den Schenkeln der meisten Proportionalzirkel
verschiedene Funktionsskalen (z.B. lineare oder logarithmische Skalen,
Skalen für Quadratzahlen oder Quadratwurzeln, aber auch Skalen für
Kreis-, Flächen- oder Volumenberechnungen) aufgetragen.
Mathematische Grundlagen
Durch Kenntnis der Strahlensätze war man frühzeitig in der Lage,
Verhältnisgleichungen zu lösen.
Im Normalfall muss dazu die Gleichung nach einem Strahlenabschnitt oder
Parallelenabschnitt umgeformt werden, z.B.:
| Betrachtet man die Skalen auf den Schenkeln eines geöffneten Proportionalzirkels als Strahlen mit einem gemeinsamen Anfangspunkt, so kann man mithilfe eines Stechzirkels Strahlen- und Parallelenabschnitte als Streckenlängen abgreifen (s. nebenstehendes Bild). |  |
Da sich auf beiden Schenkeln Skalen gleicher Einteilung
befinden, gilt:
Nach dem Strahlensatz kann nun aus drei bekannten Strecken mithilfe des Stechzirkels am Proportionalzirkel die vierte Strecke und somit die gesuchte Zahl oder Größe wie folgt bestimmt werden (Bild 3):
- Die Strecke
wird mit dem Stechzirkel abgegriffen und von S aus auf den anderen Schenkel
abgetragen, es entsteht der Punkt A. - Die Strecke
wird mit dem Stechzirkel abgegriffen und ebenfalls auf den anderen Schenkel
von S aus abgetragen, es entsteht der Punkt C. - Die Strecke
wird in den Stechzirkel genommen und der Proportionalzirkel so weit
geöffnet, dass die Zirkelspanne mit dem Abstand der Punkte A und
B übereinstimmt. - Die gesuchte Strecke
kann nun mit dem Stechzirkel am geöffneten Proportionalzirkel abgegriffen
werden.
Mithilfe des Proportionalzirkels war es auch möglich
zu multiplizieren und zu dividieren, wenn anstelle linearer Skalen logarithmische
Skalen verwendet wurden.
Durch Anwenden der Logarithmengesetze wird die Multiplikation auf die
Addition von Strecken und die Division auf die Subtraktion von Strecken
zurückgeführt. Die Strecken werden dazu mit einem Stechzirkel
abgegriffen und addiert bzw. subtrahiert (s. Bild unten).
Proportionalzirkel mit logarithmischen Skalen entsprachen somit den ersten
Rechenstäben.