fahren (s. nebenstehendes Bild). Dann gilt 
,
wobei s den zurückgelegten Weg und t die dazu benötigte Zeit angibt.
Unter den genannten Randbedingungen (geradlinige Straße, konstante Geschwindigkeit) kann man die Entfernung vom Ausgangspunkt der Messung zu einem Punkt
berechnen, wenn das Auto für diese Strecke eine Zeit t = 20 s benötigt
hat, es gilt:
Auf die gleiche Weise lässt sich der zurückgelegte Weg auch für jede andere Zeit t (aus dem betrachteten Zeitintervall) ermitteln. Die Zeit t übernimmt hier die Rolle eines (reellen) Parameters, während die Geschwindigkeit v eine konstante Größe ist.
Im Unterschied zur Zeit, die allein durch ihren
Betrag eindeutig beschrieben ist, sind Geschwindigkeit und Weg vektorielle Größen. Wir bezeichnen
sie deshalb mit 
.
Betrachtet man nun die Straße mit dem Auto aus "genügend
großer" Entfernung, dann lässt sich die geradlinige Straße
als Stück einer Geraden und das Auto als Punkt X auffassen, der sich
von einem Punkt 
zu einem Punkt
mit konstanter Geschwindigkeit bewegt (s. Bild).
Für das Auto X kann
zu jedem Zeitpunkt t (reeller Parameter)
die Position auf der Geraden als Entfernung zum Punkt
angegeben werden: Es gilt 
,
wobei jetzt 
die Koordinaten des Punktes X bezüglich des gewählten Koordinatensystems
angibt.
Abstrahiert man nun von den konkreten Gegebenheiten und betrachtet einen
Punkt und
einen Vektor 
in der Ebene oder im Raum (s. nachfolgende Bilder), so wird dadurch diejenige
Gerade g eindeutig bestimmt, die durch
geht und die Richtung von
hat.
Der Vektor
heißt dementsprechend Richtungsvektor
der Geraden g. Den Punkt
nennt man Stützpunkt
(oder auch Trägerpunkt )
von g und den zugehörigen Ortsvektor 
dann Stützvektor
der Geraden g.
Der Ortsvektor
zu einem beliebigen Punkt X auf g lässt sich unter Verwendung der
obigen Überlegungen durch die folgende Gleichung beschreiben:
In dieser Formel finden die Vektoraddition und die Vervielfachung eines Vektors mit einer reellen Zahl (einem Parameter) Anwendung.
Zusammengefasst lässt sich feststellen:
Punktrichtungsgleichung einer Geraden (Vektorform)
Die Gerade g, die durch den Stützpunkt
mit dem Ortsvektor
und den Richtungsvektor
(
)
eindeutig bestimmt ist, kann durch die Gleichung
beschrieben werden.
Anmerkung: In Vektorform angegebene Gleichungen
werden mitunter auch als vektorielle
Gleichungen, Vektorgleichung oder als Gleichungen in Parameterform bezeichnet.
Durch die Wahl von beliebigen reellen Zahlen für den Parameter t
erhält man jeweils die Beschreibung eines Punktes der Geraden g durch
seine jeweiligen Koordinaten (s. nachfolgendes Bild sowie interaktives
Beispiel 1).
Umgekehrt lässt sich aus den Koordinaten eines beliebigen
Punktes P von g der zugehörige Parameter t berechnen.
Um für eine Gerade der Ebene aus der obigen Punktrichtungsgleichung
in Vektorform eine parameterfreie
Gleichung (eine Gleichung
in Koordinatenschreibweise) zu
erhalten, betrachten wir nun allgemein eine Gerade g, die durch einen
Punkt 
und
einen Richtungsvektor 
bestimmt sei. Die Gerade g hat die Gleichung 
.
Wenn X(x; y) einen beliebigen Punkt von g bezeichnet, so gilt dann
,
woraus sich mithilfe der Rechenregeln für Vektoren ergibt:
.
Durch Anwendung des Prinzips des Koordinatenvergleichs erhält man
zwei Gleichungen:
Löst man beispielsweise die zweite Gleichung nach t auf und setzt
in die erste Gleichung ein, so erhält man nach Umformung:
Hierbei handelt es sich um eine Punktrichtungsgleichung der Geraden g,
die keinen Parameter t mehr enthält, die also eine parameterfreie
Form dieser Geradengleichung ist.
Punktrichtungsgleichung einer Geraden in der
Ebene (Koordinatenschreibweise)
Die Gerade g der Ebene, die durch den Punkt
und den Richtungsvektor
bestimmt ist, lässt sich durch die folgende parameterfreie Gleichung beschreiben:
Falls die Gerade g nicht parallel zur y-Achse verläuft, d.h., wenn
ist, nimmt
diese Gleichung die Form 
an.
Dabei ist 
der Anstieg der Geraden (s. nebenstehendes
Bild).
Die interaktiven Beispiele 2 und 3 zeigen, wie man eine Koordinatengleichung einer Geraden aus einer Vektorgleichung bzw. eine Vektorgleichung aus einer Koordinatengleichung gewinnen kann.
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