Zur Person
PYTHAGORAS lebte etwa in der Zeit von 580 bis 500 v.Chr. (die Zahlenangaben
schwanken, s. auch Bild 1). Er wurde auf der Insel Samos geboren und wird
deshalb - alten Gepflogenheiten gemäß - auch PYTHAGORAS
VON SAMOS genannt. In seiner Jugend unternahm er ausgedehnte Reisen durch
Nordafrika und Kleinasien, lernte dabei das mathematische Wissen sowohl
der Ägypter als auch der Babylonier kennen und wurde mit religiösen
Ansichten in diesen Ländern vertraut. Eine Zeitlang soll auch THALES
VON MILET sein Lehrer gewesen sein.
Nach Samos zurückgekehrt, verließ PYTHAGORAS jedoch seine Heimat bald wieder, weil auf der Insel ein tyrannisches Regime herrschte.
Der Geheimbund der Pythagoreer
Ein neues Zuhause und zugleich einen Förderer fand PYTHAGORAS in
der griechischen Kolonie Kroton in Süditalien. Dort gründete
er den Geheimbund der Pythagoreer,
dessen Mitglieder strengen Regeln unterworfen waren. Bei ihrer Aufnahme
mussten sie alles persönliche Habe an den Bund abtreten, auch durften
sie kein Fleisch essen, keinen Wein trinken und keine wollene Kleidung
tragen. Außenstehenden durften sie nichts über ihre Gemeinschaft
und die Ergebnisse ihres Forschens mitteilen. Die Pythagoreer glaubten
an die Seelenwanderung und hüteten sich deshalb, Tiere zu töten.
Das große Ziel der Gemeinschaft war es, den Aufbau der Welt zu ergründen
und die Geheimnisse der Natur zu entschleiern. In diesem Zusammenhang
soll PYTHAGORAS auch den Begriff Philosoph
(d.h. Freund der Weisheit) geprägt haben.
Die Pythagoreer waren der Auffassung, dass es notwendig sei, möglichst
viele Erscheinungen zahlenmäßig zu erfassen. "Alles ist
Zahl", war ihr Grundsatz, wobei sie unter "Zahl" nur natürliche
Zahlen und die aus ihnen zu bildenden Verhältnisse (wir würden
heute dazu "Brüche" sagen) verstanden. Sie untersuchten
die Zahlen und Beziehungen zwischen ihnen, unterschieden gerade und ungerade
Zahlen, Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen (letztere nannten sie "körperliche
Zahlen") und begründeten die Teilbarkeitslehre.
Manche ihrer Entdeckungen bestärkten sie in ihrer Auffassung von
der grundlegenden Bedeutung der Zahlen.
Zum Beispiel suchte man nach Zahlen, die gleich der Summe ihrer echten
Teiler sind. Man nannte sie "vollkommene
Zahlen". Die beiden kleinsten Zahlen dieser Art sind 6 und 28
(wegen 
bzw. 
).
Man fand diese Zahlen in der Natur wieder: Der Überlieferung nach
war die Erde in sechs Tagen geschaffen worden, und der Mond umkreist die
Erde in 28 Tagen. (Übrigens stellte sich heraus, dass solche Zahlen
sich auch als Teilsummen der Folge der natürlichen Zahlen ergeben:
Es ist 
,
und die Summe der Zahlen von 1 bis 31 liefert die nächste vollkommene
Zahl 496).
Auch die Tatsache, dass Dreiecke, deren Seitenlängen im Verhältnis
3 : 4 : 5 stehen, immer rechtwinklig sind, fügte sich in die Grundauffassungen
der Pythagoreer ein. Bei ihrer Suche stießen sie auch auf die Tatsache,
dass sich aus Saitenlängen, die in einem einfachen Verhältnis
stehen, harmonische Töne ergeben, so z.B. bei dem Verhältnis
1 : 2 die Oktave, bei 2 : 3 die Quinte und bei 3 : 4 die Quarte. Es wird
berichtet, dass PYTHAGORAS auf den Gedanken kam, solche Zusammenhänge
zu untersuchen, als er an einer Schmiede vorbeikam, in der das Zusammenspiel
einiger Hämmer einen Wohlklang ergab (nämlich dann, wenn die
Massen der Hämmer harmonisierten), in anderen Fällen jedoch
einen Missklang erzeugte. Dergleichen ist möglicherweise nur Legende,
wie überhaupt nicht festzustellen ist, welche Entdeckungen auf PYTHAGORAS,
welche auf seine Schüler zurückgehen und welche die Pythagoreer
von anderen übernommen hatten.
Der Satz
des PYTHAGORAS
Der folgende nach PYTHAGORAS benannte Lehrsatz ist wohl der bekannteste
Satz der (Schul-)Mathematik:
- In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse
flächeninhaltsgleich der Summe der Quadrate über den Katheten,
d.h., im Dreieck ABC gilt:
Die Umkehrung dieser Beziehung für das Tripel 3, 4, 5 war schon
lange vorher bekannt. Die ägyptischen Landvermesser (die sogenannten
"Seilspanner") benutzten Knotenschnüre mit diesen Maßen
für Längen und rechte Winkel, wenn sie alljährlich nach
der Nilüberschwemmung die Felder neu abzustecken hatten.
Den Pythagoreern gebührt wohl das Verdienst, diesen Satz in seiner
Allgemeinheit ausgesprochen, logisch begründet und mit den Termen
; n und
Ausdrücke
gefunden zu haben, die für ungerade Zahlen n weitere pythagoreische
Zahlentripel liefern.
Figurierte Zahlen
Die Gewohnheit, Zahlen bildlich dazustellen (man nannte sie "figurierte
Zahlen") führte zu weiteren Erkenntnissen. Beispielsweise
kannte man Dreieckszahlen, darunter die "heilige"
Tetraktys, und Quadratzahlen.
An der Darstellung der ineinander geschachtelten Quadratzahlen liest
man sofort ab, dass die Summe der ersten n ungeraden Zahlen stets die
Summe 
ergibt (Bild 4).
Aus anderen Darstellungen wurde z.B. Folgendes abgeleitet:
- Die Summe s der ersten n natürlichen Zahlen ist
.
- Für die Summe der Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 1
lassen, erhält man
.
Und weiter: Das in Bild 4 getönte Winkelstück (man nannte so
etwas "Gnomon") besteht aus neun Punkten, stellt also selbst
eine Quadratzahl dar. Damit erhält man aus dem kleineren Quadrat,
dem größeren Quadrat und dem Gnomon ein pythagoreisches Zahlentripel,
nämlich 4; 5 und 3 und einen Weg zur Gewinnung weiterer derartiger
Tripel.
Das Zeichen der Pythagoreer
Der Bund der Pythagoreer hatte auch sein geheimes Zeichen. Das war der
(regelmäßige) fünfzackige Stern, das Pentagramm
(Bild 5), das im Mittelalter als Amulett verwendet wurde. (Auch GOETHEs
Faust zeichnet eine solche Figur, "Drudenfuß" genannt,
auf seine Schwelle, um den Teufel fernzuhalten.)
Es begab sich, dass einst ein alter, gebrechlicher und kranker Wanderer an einem Haus anklopfte und um etwas zu essen und zu trinken bat. Der Wirt des Hauses war ein gutherziger Mann, gab dem Wanderer Nahrung und ein Nachtlager und versorgte ihn auch weiterhin, da der alte Mann sterbenskrank war. Als es mit ihm zu Ende ging, bat er seinen Wirt um eine Tafel und ein Stück Kreide, malte ein Pentagramm darauf und forderte den Wirt auf, die Tafel in das Fenster zu stellen, denn er habe sonst nichts, womit er die Güte, die er erfahren hatte, vergelten könne. Dann starb er. Einige Zeit später kam ein vornehmer Reisender an dem Haus vorbei, sah die Tafel und fragte den Wirt, welche Bewandtnis es damit habe. Als der Wirt den Hergang erzählte, wurde er von dem Reisenden mit einen Beutel Geldes entlohnt.
Doch ausgerechnet die Figur des Pentagramms brachte die Philosophie der Pythagoreer ins Wanken, denn die Länge des Umkreises und die Seitenlänge des Fünfecks lassen sich nicht in einem Verhältnis natürlicher Zahlen ausdrücken. Auf solches Problem war man schon bei der Basis und den Schenkeln eines gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks gestoßen. Heute wissen wir, dass dies zu irrationalen Zahlen führt. Als einer der Pythagoreer, ein gewisser HIPPASOS, solches auszusprechen wagte, war das wie eine Gotteslästerung, und die Götter sollen ihn bei einem Schiffbruch umkommen lassen haben. Immerhin begegneten die Pythagoreer dabei dem Problem des "Goldenen Schnitts".
Die Geheimniskrämerei der Pythagoreer und ihre ungewöhnliche
Lebensweise erregten den Unmut der Bevölkerung. So wurden sie zunächst
aus Kroton, dann auch aus Megapontum, wohin sie sich geflüchtet hatten,
vertrieben. Möglicherweise kam PYTHAGORAS bei einem solchen Pogrom
ums Leben.