Funktionen, quadratische

Nimmt man vereinfachend an, dass ein Bungee-Springer in der ersten Phase nach seinem Absprung aus Meter Höhe frei fällt, so würde er sich entsprechend den Gesetzen der Physik nach t Sekunden in einer Höhe

über der Erdoberfläche befinden.
Die Gleichung

beschreibt eine spezielle quadratische Funktion.

• Definition: Eine Funktion mit einer Gleichung der Form
  
  oder einer Gleichung, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden kann, heißt quadratische Funktion
  ( nennt man das quadratische Glied, bx das lineare Glied und c das absolute Glied der Funktionsgleichung).

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel (quadratische Parabel). Die Symmetrieachse der Parabel verläuft parallel zur y-Achse und schneidet den Graphen der Funktion im Scheitelpunkt (Scheitel) der Parabel.
Für a > 0 ist die Parabel nach oben und für a < 0 nach unten geöffnet.

Für a > 0 besitzt die Parabel einen tiefsten Punkt (einen Minimumpunkt) und für a < 0 einen höchsten Punkt (einen Maximumpunkt). Diese Punkte sind jeweils Scheitelpunkt der Parabel.

Wir betrachten zunächst quadratische Funktionen mit a = 1. Man erhält

bzw. durch Umbenennung

Um den Zusammenhang zwischen den reellen Zahlen p, q und den Graphen der entsprechenden quadratischen Funktionen zu erkennen, ist es zweckmäßig, eine Fallunterscheidung durchzuführen.

Fall 1: p = 0, q = 0
Man erhält die quadratische Funktion . Ihr Definitionsbereich ist die Menge der reellen Zahlen, ihr Wertebereich die Menge aller nichtnegativen reellen Zahlen. Der Graph dieser Funktion wird Normalparabel genannt. Ihre Symmetrieachse ist die y-Achse; der Scheitel hat die Koordinaten (0; 0). Aufgrund der im Funktionsterm auszuführenden Operation (Quadrieren) ist die Funktion für alle streng monoton fallend und für alle streng monoton wachsend sowie nach unten beschränkt.

Fall 2: p = 0; q 0
Es ergibt sich die Gleichung mit , z.B. also
oder .
Im Vergleich zum zuvor betrachteten Fall erhält man die Funktionswerte der jeweiligen Funktion, indem man zum entsprechenden Funktionswert von die Zahl 1 addiert bzw. von diesem 4 subtrahiert (allgemein: q addiert).
Das heißt geometrisch: Der Graph der Funktionen ist eine um Einheiten in Richtung der positiven (für q > 0) bzw. negativen y-Achse (für q < 0) verschobene Normalparabel mit der y-Achse als Symmetrieachse und dem Scheitel (0; q).

Fall 3: p 0, q = 0
Man erhält die Gleichung mit , zum Beispiel also .

Um mit den vorangegangenen Fällen vergleichen zu können, liegt es nahe, die Summe im Funktionsterm in ein vollständiges Quadrat umzuwandeln. Das ist mithilfe der quadratischen Ergänzung möglich:

Die Funktionsgleichung erreicht damit die Gestalt .
Der Einfluss des Summanden e auf den Graphen der Funktion ist bekannt (siehe Fall 2).
Anhand der Funktionsgleichungen und erkennt man:
Der Funktionswert, den die Funktion an einer beliebigen Stelle x annimmt, ist gleich dem Funktionswert von
an der Stelle x - d, denn
.
Also: Der Graph der Funktion y = ist die um Einheiten in Richtung der positiven (falls d < 0) oder der negativen x-Achse (falls d > 0) verschobene Normalparabel.
In Bezug auf das betrachtete Beispiel bzw. - 1 bedeutet das: Der Graph der Funktion ist die um je eine Einheit in Richtung der negativen x- und y-Achse verschobene Normalparabel; der Scheitelpunkt ist S(-1; -1).


Fall 4: p 0; q 0
Man erhält die Gleichung mit . Mithilfe der quadratischen Ergänzung kann diese wieder in die Struktur überführt werden, aus der sich die Koordinaten des Scheitelpunktes S(-d; e) unmittelbar ablesen lassen (siehe Fall 3).

Man spricht deshalb auch von der Scheitelpunktsform der Gleichung einer quadratischen Funktion. Bei der Umformung geht man in folgenden Schritten vor:

Beispiel:	Allgemeiner Fall:
also und damit	also und damit

Das heißt: Die Koordinaten des Scheitelpunktes kann man unmittelbar aus p und q erhalten, ohne die Scheitelpunktsform zu erzeugen.
Führt man für die Abkürzung D ein, so erhält man für die Koordinaten des Scheitelpunktes bzw. . D nennt man Diskriminante der quadratischen Funktion.