Beim Vergleichen und Verknüpfen von Vektoren muss stets darauf geachtet werden, dass die Koordinatenanzahl, d.h. die Anzahl der Zeilen bei der Darstellung als Spaltenvektor, übereinstimmt.
Gleichheit von Vektoren
(Prinzip des Koordinatenvergleichs)
Zwei Vektoren 
sind genau dann gleich, wenn sie jeweils in ihren Koordinaten übereinstimmen,
wenn also 
gilt.
Addition von
Vektoren
Für die Summe zweier Vektoren
gilt:
- Die Addition von Vektoren ist kommutativ und assoziativ.
Beweis der Kommutativität:
Die Assoziativität kann sowohl durch Rückführung
der Addition von Vektoren auf die Addition ihrer Koordinaten, die assoziativ
ist, nachgewiesen oder wie in Bild 1 dargestellt veranschaulicht werden.
- Beispiel:
Die Subtraktion von Vektoren
lässt sich auf die Addition zurückführen.
Ein Vektor 
wird von einem Vektor 
subtrahiert, indem man den zu
entgegengesetzten Vektor 
(mit dem umgekehrten Vorzeichen aller Koordinaten) zu
addiert (Bild 2):
Multiplikation (Vervielfachung) eines
Vektors mit einer Zahl
Für die Multiplikation (Vervielfachung)
eines Vektors mit einer reellen Zahl (einem Skalar) gilt:
Anmerkung: Für den Fall, dass mit einer
natürlichen Zahl n multipliziert werden soll, lässt sich die
Vielfachbildung auf die Addition von Vektoren zurückführen.
- Beispiel: Es sei
In der folgenden Tabelle sind einige Gesetzmäßigkeiten der Vielfachbildung angegeben und anhand des obigen Beispiels "nachgewiesen".
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Gesetzmäßigkeit
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Beispiel
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Produkte von Vektoren
Für das Skalarprodukt
zweier
Vektoren
gilt: 
Das Ergebnis dieser (skalaren) Multiplikation von Vektoren ist eine reelle
Zahl, ein Skalar.
- Beispiel:
Anmerkung: Das Skalarprodukt
kann auch als 
berechnet werden.
Für das Vektorprodukt
zweier Vektoren 
im dreidimensionalen Raum gilt:
Das Ergebnis dieser (vektoriellen) Multiplikation ist wieder ein Vektor.
- Beispiel:
Der Betrag des Vektorproduktes 
ist gleich der Maßzahl des Inhalts des von den beiden Vektoren aufgespannten
Parallelogramms mit folgender Berechnungsmöglichkeit:
Für das Spatprodukt
von drei Vektoren 
gilt:
Für 
liegen die Vektoren in einer Ebene, sind also linear
abhängig.
- Beispiel: Es sei
Dann gilt:
Geometrische Interpretation: Das Spatprodukt ist betragsmäßig
gleich dem Volumen des durch die drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds
(Spats).