Erwartungswerte, Rechenregeln

Für die Erwartungswerte von Zufallsgrößen gelten eine Reihe wichtiger und nützlicher Rechenregeln, wobei hier der Einfachheit halber nur endliche Zufallsgrößen betrachtet werden sollen.

• Satz 1: Ist X eine endliche Zufallsgröße, so gilt für den Erwartungswert der Zufallsgröße :
  

Beweis: Die Zufallsgröße X nehme die Werte mit den Wahrscheinlichkeiten an. Dann gilt:

• Beispiel 1: Beim einmaligen Werfen eines fairen Tetraeders werde jeweils das um zwei verkleinerte Dreifache der geworfenen Augenzahl notiert.
  Welcher Wert ist dann zu erwarten?

Lösungsvariante 1 (nach Satz 1):
Es ist

und .
Somit gilt nach Satz 1:


Lösungsvariante 2 (nach Definition):

Lösungsvariante 3 (mittels Simulation):
Mithilfe der Randomfunktion eines Taschencomputers wird die Zufallsgröße simuliert und n-mal realisiert. Die entsprechenden relativen Häufigkeiten werden als Näherungswerte für die Wahrscheinlichkeiten verwandt und daraus wird EY berechnet. Simulation für ergibt (Bild 1). Interaktiv kann die Simulation auch für andere Werte von n durchgeführt werden (s. Bild 2 bzw. interaktives Beispiel 1).

• Satz 2: Für beliebige endliche Zufallsgrößen X und Y gilt:

Beweis: Die Zufallsgröße X nehme die Werte mit den Wahrscheinlichkeiten und die Zufallsgröße Y die Werte mit an. Dann gilt:

• Beispiel 2: Beim zweimaligen Werfen eines idealen Tetraeders werde jeweils die Augensumme, d.h. die Summe der beiden geworfenen Augenzahlen, notiert.
  Welche Augensumme ist dann zu erwarten?

Lösungsvariante 1 (nach Satz 2):

Anmerkung: Für Zufallsgrößen X gilt das aus Zahlenbereichen und Vektorräumen bekannte Gesetz nicht.

Lösungsvariante 2 (nach Definition):

Lösungsvariante 3 (mittels Simulation):
Vorgegangen wird wie in Lösungsvariante 3 des Beispiels 1. Simulation für n = 200 ergibt (Bild 3).
Interaktiv kann die Simulation auch für andere Werte von n durchgeführt werden (s. Bild 4 bzw. interaktives Beispiel 2).

• Satz 3: Für voneinander stochastisch unabhängige endliche Zufallsgrößen X und Y gilt:
  

Beweis: Die Zufallsgröße X nehme die Werte mit den Wahrscheinlichkeiten und die Zufallsgröße Y die Werte mit an. Dann gilt (wegen der Unabhängigkeit von X und Y):

• Beispiel 3: Beim zweimaligen Werfen eines nichtgezinkten Tetraeders werde jeweils das Augenprodukt, d.h. das Produkt der beiden geworfenen Augenzahlen, notiert.
  Welches Augenprodukt ist dann zu erwarten?

Lösungsvariante 1 (nach Satz 3):
Es ist

(wobei X und X stochastisch unabhängig sind). Dann gilt:

Lösungsvariante 2 (nach Definition):

Lösungsvariante 3 (mittels Simulation):
Vorgegangen wird wieder wie in Lösungsvariante 3 Beispiels 1. Simulation für n = 200 ergibt (Bild 5).
Interaktiv kann die Simulation auch für andere Werte von n durchgeführt werden (Bild 6 bzw. interaktives Beispiel 3).