Es
ist leicht, Vorschriften über die Theorie des Beweises aufzustellen,
aber der Beweis selbst ist schwer zu führen.
(GIORDANO BRUNO)
Wie z.B. für die reellen Zahlen oder für Vektoren, so existieren
auch für Wahrscheinlichkeiten grundlegende Rechenregeln.
Diese Rechenregeln müssen aus dem entsprechenden Axiomensystem, d.h.
aus dem Axiomensystem von KOLMOGOROW, ableitbar sein, wobei die Kenntnis
der zugehörigen Beweise nicht nur mathematische Gewissheit verschafft,
sondern auch Einblicke in wichtige stochastische Beweismechanismen gewährt.
Eine häufig angewandte Beweisidee besteht z.B. in der Zerlegung eines
Ereignisses in zwei geeignete (unvereinbare) Ereignisse.
- Regel 1: Wahrscheinlichkeit
des unmöglichen Ereignisses
Die Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses
beträgt 0, d.h., es gilt:
Beweis:
- Regel 2: Wahrscheinlichkeit
des sicheren Ereignisses
Die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses beträgt 1, d.h., es gilt:
Regel 2 gilt, da sie identisch ist mit der Aussage von Axiom 2.
- Regel 3: Wahrscheinlichkeit
eines Ereignisses
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten all seiner atomaren Ereignisse (Elementarereignisse). Das heißt: Umfasst A genau die Ergebnisse
,
so gilt 
und stets 
.
Beweis:
Um zu
beweisen, genügt es 
zu beweisen, da 
in Axiom 1 gefordert wird.
Den Nachweis, dass die Gleichung
für 
wahr ist, kann man direkt mittels vollständiger Induktion erbringen
oder als Spezialfall des allgemeinen Additionssatzes
auffassen.
- Regel 4: Wahrscheinlichkeit
des Gegenereignisses
Die Summe der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A und der ihres Gegenereignisses
beträgt
stets 1, d.h., es gilt:
Beweis:
- Regel 5: Additionssatz
für zwei Ereignisse
Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass A oder B eintritt, addiert man die Wahrscheinlichkeit von A und die von B und subtrahiert von dieser Summe die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sowohl A als auch B eintritt.
Es gilt also:
Anmerkung: Einen Beweis dieser Regel findet man unter dem Thema "Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten".
- Regel 6: Wahrscheinlichkeit
für implizierte Ereignisse
Zieht das Ereignis A das Ereignis B nach sich (impliziert das Ereignis A das Ereignis B oder tritt auch das Ereignis B immer ein, wenn das Ereignis A eintritt), so ist die Wahrscheinlichkeit von B niemals kleiner als die von A, d.h., es gilt:
Beweis:
Aus obigen Rechenregeln ergibt sich, dass die folgenden Angaben fehlerhaft sind:
mit 
Widerspruch zur Regel 3:
Jede Wahrscheinlichkeit muss nichtnegativ sein - die Wahrscheinlichkeit
darf
demzufolge nicht 
betragen.
-
mit
Widerspruch zur Regel 2:
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller atomaren Ereignisse muss 1 betragen
und darf nicht 
sein.
-
mit
Widerspruch zur Regel 3:
Die Wahrscheinlichkeit von jedem Ereignis muss kleiner oder gleich 1 sein
und darf nicht 1,2 betragen.
mit 
Widerspruch zur Regel 6:
Die Wahrscheinlichkeit von 
muss stets kleiner oder gleich der Wahrscheinlichkeit von A sein 
und darf hier nicht 0,5 betragen.