Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Rechenregeln

Vor Lars Spielmann liegen auf dem Tisch drei Tetraeder (ein rotes, ein blaues und ein gelbes), die jeweils mit den Ziffern 1 bis 4 beschriftet sind. Während das rote Tetraeder ein LAPLACE-Tetraeder ist, sind die beiden anderen gezinkt.
Die Tetraeder werden durch folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung charakterisiert:

	1	2	3	4
rot	0,25	0,25	0,25	0,25
blau	0,10	0,20	0,30	0,40
gelb	0,30	0,40	0,10	0,20

An diesem Sachverhalt soll im Folgenden das Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten demonstriert werden.

Berechnen der bedingten Wahrscheinlichkeit, wenn P die Gleichverteilung ist
Lars Spielmann möchte die Wahrscheinlichkeit p wissen, mit der er beim einmaligen Werfen des roten LAPLACE-Tetraeders die 3 wirft, wenn bekannt ist, dass er eine Primzahl wirft.
Es werden die folgenden Ereignisse A und B betrachtet:

Die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit kann man mittels der Definition für bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen:

Da aber P die Gleichverteilung ist, ergibt sich bei der Anteilsinterpretation von das folgende einfache Anzahlverhältnis:

Wir stellen für diesen Fall fest:

• Ist P die Gleichverteilung, so gilt und .

Berechnen der bedingten Wahrscheinlichkeit, wenn P keine Gleichverteilung sein muss
Lars Spielmann möchte nun die Wahrscheinlichkeit p wissen, mit der er beim einmaligen Werfen des blauen gezinkten Tetraeders die 3 wirft, wenn bekannt ist, dass er eine Primzahl wirft.
Dazu geht er wiederum von der Definition für bedingte Wahrscheinlichkeiten aus und erhält:

Eine andere Möglichkeit, die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu berechnen, ist das Baumdiagramm. Diesem ist über die erste Pfadregel zu entnehmen (s. nebenstehendes Bild):

Auch mithilfe einer Vierfeldertafel lässt sich p bestimmen. Man erhält (s. nebenstehendes Bild):

Wir stellen also fest, die bedingte Wahrscheinlichkeit kann mittels Definition, mittels Baumdiagramm oder mittels Vierfeldertafel berechnet werden.

Berechnen der Wahrscheinlichkeit
Lars Spielmann wirft nun zweimal eines der gezinkten Tetraeder, und zwar beginnt er mit dem blauen. Erzielt er dabei eine ungerade Augenzahl, so wirft er das gelbe Tetraeder. Ansonsten wirft er das blaue Tetraeder ein zweites Mal. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erreicht er beim zweiten Wurf die zweite 1?
Es werden die folgenden Ereignisse A und B betrachtet:

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kann mithilfe eines zweistufigen Baumdiagramms ermittelt werden. Dabei empfiehlt es sich, die nebenstehende Form zu verwenden, weil sie besonders angepasst und einfach strukturiert ist.

Nach der ersten Pfadregel ergibt sich:

Zu dem gleichen Produktansatz für p gelangt man, wenn die Definitionsgleichung nach umgestellt wird. Es ergibt sich folgender Satz:

• Allgemeiner Produkt- oder Multiplikationssatz
  Sind A, B zwei Ereignisse eines Zufallsexperiments mit , so gilt .

Dieser Multiplikationssatz entspricht der ersten Pfadregel im zweistufigen Baumdiagramm und ist eine Produktform der definierenden Gleichung bedingter Wahrscheinlichkeiten.

Totale Wahrscheinlichkeit
Lars Spielmann wirft erneut zweimal eines der gezinkten Tetraeder, und zwar beginnt er wiederum mit dem blauen. Erzielt er dabei eine ungerade Augenzahl, so wirft er das gelbe Tetraeder. Ansonsten wirft er das blaue Tetraeder ein zweites Mal. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erreicht Lars beim zweiten Wurf eine Augenzahl kleiner als 3?
Es werden die folgenden Ereignisse A und B betrachtet:

Nach der zweiten Pfadregel ergibt sich (s. nebenstehendes Bild):

Zu demselben Ansatz gelangt man auch über die Vierfeldertafel und die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit, wenn dabei in die zwei Ereignisse B und zerlegt wird.

Zerlegt man nicht nur in zwei, sondern in n Ereignisse , so erhält man analog über das entsprechende Baumdiagramm und die zweite Pfadregel den Ansatz, um die "totale" Wahrscheinlichkeit allgemein zu berechnen.

• Satz der totalen Wahrscheinlichkeit
  Bilden die Ereignisse eine Zerlegung von (d.h., gilt und ) und besitzen alle eine Wahrscheinlichkeit für , so gilt:
  

Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit entspricht der zweiten Pfadregel im Baumdiagramm.